(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as
exatas e resolva.
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisamos verificar se ela é exata. Se for exata, vamos resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos expressar isso como uma equação diferencial na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e então comparar:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas duas expressões precisam ser iguais para todo
e
. Observando as expressões, percebemos que elas só serão iguais se
, ou seja, quando
. Porém, isso não é válido para todos os valores de
, então a condição de exatidão não se satisfaz em geral.
Resposta
A equação dada não é uma EDO exata.
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(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as
exatas e resolva.
.
b)
b)
Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em
?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
d)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
b)