(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as exatas e resolva.
.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisamos verificar se ela é exata. Se for exata, vamos resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos expressar isso como uma equação diferencial na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e então comparar:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas duas expressões precisam ser iguais para todo e . Observando as expressões, percebemos que elas só serão iguais se , ou seja, quando . Porém, isso não é válido para todos os valores de , então a condição de exatidão não se satisfaz em geral.

Resposta

A equação dada não é uma EDO exata.

Exercícios relacionados

(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as exatas e resolva.
.
b)
Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em ?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando ao longo do eixo , do eixo , das retas (ou , se for suficiente), da parábola . (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)