(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as E D O s exatas e resolva.
(y cos(x) + 2x e^(y)) + (sen(x) + 2x e^(y) - 1) y' = 0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisamos verificar se ela é exata. Se for exata, vamos resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos expressar isso como uma equação diferencial na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e então comparar:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas duas expressões precisam ser iguais para todo e . Observando as expressões, percebemos que elas só serão iguais se , ou seja, quando . Porém, isso não é válido para todos os valores de , então a condição de exatidão não se satisfaz em geral.

Resposta

A equação dada não é uma EDO exata.

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