Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Toda sequência alternada é divergente.
Toda sequência alternada é divergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A proposição afirma que “Toda sequência alternada é divergente”. Primeiro, precisamos saber o que é uma sequência alternada e o que significa ser divergente. Uma sequência alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Uma sequência é divergente se ela não converge para um limite específico. Nosso objetivo é encontrar uma sequência que seja alternada e que converja, provando assim que a proposição é falsa.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que uma sequência alternada pode ser escrita da forma geral:
onde
é uma sequência positiva. Agora, se a sequência
converge para zero, então a sequência alternada
também converge, mesmo que os sinais estejam mudando.
Passo 3
Vamos construir um exemplo concreto. Considere a sequência:
Aqui,
, que claramente converge para zero quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos verificar a convergência da sequência
:
Mesmo com os termos alternando de sinal, o fator
faz com que a sequência converja para zero.
Resposta
Um contra-exemplo é a sequência
, que é alternada e converge para 0, mostrando que nem toda sequência alternada é divergente.