Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Toda sequência alternada é divergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A proposição afirma que “Toda sequência alternada é divergente”. Primeiro, precisamos saber o que é uma sequência alternada e o que significa ser divergente. Uma sequência alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Uma sequência é divergente se ela não converge para um limite específico. Nosso objetivo é encontrar uma sequência que seja alternada e que converja, provando assim que a proposição é falsa.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que uma sequência alternada pode ser escrita da forma geral:
onde é uma sequência positiva. Agora, se a sequência converge para zero, então a sequência alternada também converge, mesmo que os sinais estejam mudando.

Passo 3

Vamos construir um exemplo concreto. Considere a sequência:
Aqui, , que claramente converge para zero quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos verificar a convergência da sequência :
Mesmo com os termos alternando de sinal, o fator faz com que a sequência converja para zero.

Resposta

Um contra-exemplo é a sequência , que é alternada e converge para 0, mostrando que nem toda sequência alternada é divergente.

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