Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(1+3+5+...+(2n-1))/(n+1) - 1/2 - n}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos precisar de noções de somatório de sequências e limites de funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no numerador da fração: . Essa é a soma dos primeiros números ímpares. Você sabia que a soma dos primeiros números ímpares é igual a ? Isso é uma fórmula bem útil! Então, podemos simplificar a soma assim:

Passo 3

Agora, substituímos essa soma na nossa sequência original:
Vamos organizar essa expressão para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos reescrever a sequência para combinar os termos semelhantes:
Para simplificar, vamos colocar os dois primeiros termos sob um denominador comum.

Passo 5

Podemos reescrever como para que ambos os termos tenham o mesmo denominador:
Agora, combinamos os dois primeiros termos:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Olhando cada parte:
  1. : Dividindo numerador e denominador por , temos . Quando vai para o infinito, tende a 0, então esse termo tende a .
  2. : Esse é um termo constante.
Então, o limite da sequência é:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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