Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos precisar de noções de somatório de sequências e limites de funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no numerador da fração:
. Essa é a soma dos primeiros
números ímpares. Você sabia que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
? Isso é uma fórmula bem útil! Então, podemos simplificar a soma assim:
Passo 3
Agora, substituímos essa soma na nossa sequência original:
Vamos organizar essa expressão para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos reescrever a sequência para combinar os termos semelhantes:
Para simplificar, vamos colocar os dois primeiros termos sob um denominador comum.
Passo 5
Podemos reescrever
como
para que ambos os termos tenham o mesmo denominador:
Agora, combinamos os dois primeiros termos:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Olhando cada parte:
-
: Dividindo numerador e denominador por , temos . Quando vai para o infinito, tende a 0, então esse termo tende a . -
: Esse é um termo constante.
Então, o limite da sequência é:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Dizemos que uma função
DIVERGE A MAIS INFINITO PELA ESQUERDA no ponto
se para toda sequência convergindo a
pela esquerda tivermos que a correspondente sequência das imagens,
, diverge para (mais) infinito.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Toda sequência alternada é divergente.
Toda sequência alternada é divergente.
Dizemos que um número real L é o limite, pela esquerda, desta sequência numérica se escolhido qualquer valor positivo para
, existe um índice
(que em geral, depende de
) a partir do qual a distância entre
e
é menor do que
e
L.