Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não monótona.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, mas que não seja monótona. Isso envolve entender alguns conceitos de Análise de Sequências. Vamos precisar saber o que significa uma sequência ser limitada, convergente e monótona para montar esse exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe algum número real que limite seus termos, ou seja, todos os termos da sequência ficam dentro de um intervalo fixo. Em termos matemáticos, dizemos que uma sequência
é limitada se existe um número
tal que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se, à medida que
cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um certo número real, chamado de limite da sequência. Formalmente,
converge para
se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
,
.
Passo 4
Por último, uma sequência é dita monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, para toda
,
(monótona crescente) ou
(monótona decrescente).
Passo 5
Agora, precisamos de um exemplo que satisfaça as três condições: limitada, convergente e não monótona. Vamos construir uma sequência que oscila, mas que suas oscilações diminuem à medida que
aumenta, garantindo que seja convergente e limitada, mas que não seja nem sempre crescente nem sempre decrescente.
Passo 6
Considere a sequência definida por:
Vamos analisar essa sequência:
-
Limitada: O termo
oscila entre e . Como vai se aproximando de 0 quando aumenta, todos os termos ficam entre e . Portanto, a sequência é limitada. -
Convergente: O limite de
quando tende ao infinito é:
Então, a sequência converge para 1.
- Não monótona: Observe que os termos da sequência alternam sinais devido a
. Isso faz com que a sequência não seja sempre crescente nem sempre decrescente. Por exemplo, , , , e assim por diante.
Resposta
Um exemplo de sequência que é limitada e convergente, mas não monótona é:
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Dizemos que um número real L é o limite, pela esquerda, desta sequência numérica se escolhido qualquer valor positivo para
, existe um índice
(que em geral, depende de
) a partir do qual a distância entre
e
é menor do que
e
L.
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Toda sequência alternada é divergente.
Toda sequência alternada é divergente.
Encontre o limite.
.
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.