Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não monótona.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, mas que não seja monótona. Isso envolve entender alguns conceitos de Análise de Sequências. Vamos precisar saber o que significa uma sequência ser limitada, convergente e monótona para montar esse exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe algum número real que limite seus termos, ou seja, todos os termos da sequência ficam dentro de um intervalo fixo. Em termos matemáticos, dizemos que uma sequência é limitada se existe um número tal que para todo .

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se, à medida que cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um certo número real, chamado de limite da sequência. Formalmente, converge para se, para todo , existe um número natural tal que, para todo , .

Passo 4

Por último, uma sequência é dita monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, para toda , (monótona crescente) ou (monótona decrescente).

Passo 5

Agora, precisamos de um exemplo que satisfaça as três condições: limitada, convergente e não monótona. Vamos construir uma sequência que oscila, mas que suas oscilações diminuem à medida que aumenta, garantindo que seja convergente e limitada, mas que não seja nem sempre crescente nem sempre decrescente.

Passo 6

Considere a sequência definida por:
Vamos analisar essa sequência:
  1. Limitada: O termo oscila entre e . Como vai se aproximando de 0 quando aumenta, todos os termos ficam entre e . Portanto, a sequência é limitada.
  2. Convergente: O limite de quando tende ao infinito é:
Então, a sequência converge para 1.
  1. Não monótona: Observe que os termos da sequência alternam sinais devido a . Isso faz com que a sequência não seja sempre crescente nem sempre decrescente. Por exemplo, , , , e assim por diante.

Resposta

Um exemplo de sequência que é limitada e convergente, mas não monótona é:

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Dizemos que um número real L é o limite, pela esquerda, desta sequência numérica se escolhido qualquer valor positivo para , existe um índice (que em geral, depende de ) a partir do qual a distância entre e é menor do que e L.
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Toda sequência alternada é divergente.
Encontre o limite.
.
Determine o conjunto solução da desigualdade em .