Suponha que a trajetória de uma partícula A seja dada por r1(t) = (2 + t, 1 - t, 2t) e que a trajetória de uma partícula B seja dada por r2(s) = (1+s, -1+s, -1/2+s).
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas, A e B, que estão se movendo no espaço. As trajetórias delas são dadas por:
  • Partícula A:
  • Partícula B:
A pergunta é: as trajetórias dessas duas partículas se cruzam? E será que elas colidem, ou seja, chegam ao mesmo lugar ao mesmo tempo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e equações paramétricas para encontrar se existe algum ponto comum nas trajetórias e se ocorre no mesmo instante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as trajetórias se encontram. Isso quer dizer que existe algum tempo para a partícula A e algum tempo para a partícula B onde as posições delas são iguais. Em termos de equações, isso é:
Isso nos dá um sistema de três equações, uma para cada coordenada (x, y, z):

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Da primeira equação:
Podemos isolar :
Da segunda equação:
Substituindo por :
Somando de ambos os lados:

Passo 4

Com , vamos encontrar usando :
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Substituindo:
A terceira equação está satisfeita!

Passo 5

Então, encontramos que quando e , as posições das partículas A e B são iguais. Isso significa que as trajetórias das duas partículas se encontram no ponto correspondente a esses valores de e .
Agora, para verificar se elas colidem, precisamos que elas estejam no mesmo lugar ao mesmo tempo, ou seja, que . Neste caso, vimos que e , que não são iguais. Portanto, mesmo que as trajetórias se cruzem, as partículas não estão no mesmo ponto ao mesmo tempo.

Resposta

Sim, as trajetórias das partículas A e B se encontram no ponto . No entanto, elas não colidem porque não estão nesse ponto no mesmo instante.

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