Nos exercícios abaixo, resolva para e represente a solução na reta numérica.
Passo 1
Vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, precisamos entender como lidar com as expressões dentro dos valores absolutos e encontrar os valores de que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, observe que os valores absolutos garantem que as expressões dentro deles sejam sempre positivas ou zero. Portanto, podemos reescrever a desigualdade sem os valores absolutos, considerando os casos onde as expressões têm o mesmo ou sinais opostos.
Isso implica que:
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado elimina os valores absolutos:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados da inequação por para eliminar os denominadores. É importante notar que e são sempre positivos, então a direção da desigualdade não muda.
Passo 5
Expandimos ambos os lados da desigualdade:
Substituindo de volta:
Passo 6
Movemos todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade:
Simplificando:
Multiplicamos ambos os lados por (lembrando que isso inverte a direção da desigualdade):
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Passo 8
Agora, analisamos os intervalos definidos pelas raízes e para determinar onde a desigualdade é satisfeita.