Nos exercícios abaixo, resolva para e represente a solução na reta numérica.

Passo 1

Vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, precisamos entender como lidar com as expressões dentro dos valores absolutos e encontrar os valores de que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, observe que os valores absolutos garantem que as expressões dentro deles sejam sempre positivas ou zero. Portanto, podemos reescrever a desigualdade sem os valores absolutos, considerando os casos onde as expressões têm o mesmo ou sinais opostos.
Isso implica que:

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado elimina os valores absolutos:

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados da inequação por para eliminar os denominadores. É importante notar que e são sempre positivos, então a direção da desigualdade não muda.

Passo 5

Expandimos ambos os lados da desigualdade:
Substituindo de volta:

Passo 6

Movemos todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade:
Simplificando:
Multiplicamos ambos os lados por (lembrando que isso inverte a direção da desigualdade):

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:

Passo 8

Agora, analisamos os intervalos definidos pelas raízes e para determinar onde a desigualdade é satisfeita.
Testamos pontos em cada intervalo:
  1. Para : Escolhemos
  2. Para : Escolhemos
  3. Para : Escolhemos

Resposta

A solução da desigualdade é ou .
Representando na reta numérica:
Onde os intervalos e estão destacados.

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