Na convecção natural em regime laminar em uma superfície vertical aquecida, o coeficiente convectivo local pode ser representado por , onde é o coeficiente a uma distância da aresta frontal da superfície e a grandeza C , que depende das propriedades do fluido, é independente de x. Obtenha uma expressão para a razão onde é o coeficiente médio entre a aresta frontal e a posição x. Esboce a variação de e com x. (R: 4/3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um problema de convecção natural em regime laminar em uma superfície vertical que está sendo aquecida. A equação que descreve o coeficiente convectivo local é , onde é o coeficiente a uma distância da borda frontal da superfície, e é uma constante que depende das propriedades do fluido, mas não depende de . A pergunta é para encontrar a razão entre o coeficiente médio e o coeficiente local , ou seja, . Além disso, precisamos esboçar como e variam com . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar o coeficiente médio e depois comparar com o coeficiente local.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente convectivo médio . O coeficiente médio entre duas posições, de até um ponto , é basicamente a média dos valores de ao longo dessa distância. Matematicamente, isso é representado por:
Ou seja, estamos integrando de a e depois dividindo por para achar a média.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de na integral. Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral . A regra básica de integração para potências de é:
Aqui, , então:

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
Como , a segunda parte desaparece.

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente médio :
Simplificando, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a razão :
As se cancelam, restando apenas .

Resposta

A razão é igual a .

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