Na convecção natural em regime laminar em uma superfície vertical aquecida, o coeficiente convectivo local pode ser representado por hx=Cx^-1 / 4, onde hx é o coeficiente a uma distância x da aresta frontal da superfície e a grandeza C , que depende das propriedades do fluido, é independente de x. Obtenha uma expressão para a razão barhx / hx onde barhx é o coeficiente médio entre a aresta frontal (x=0) e a posição x. Esboce a variação de barhx e hx com x. (R: 4/3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um problema de convecção natural em regime laminar em uma superfície vertical que está sendo aquecida. A equação que descreve o coeficiente convectivo local é hx = Cx^-1/4, onde hx é o coeficiente a uma distância x da borda frontal da superfície, e C é uma constante que depende das propriedades do fluido, mas não depende de x. A pergunta é para encontrar a razão entre o coeficiente médio barhx e o coeficiente local hx, ou seja, barhxhx. Além disso, precisamos esboçar como barhx e hx variam com x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar o coeficiente médio e depois comparar com o coeficiente local.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente convectivo médio barhx. O coeficiente médio entre duas posições, de x = 0 até um ponto x, é basicamente a média dos valores de hx ao longo dessa distância. Matematicamente, isso é representado por:
barhx = 1x integral0^x hx , dx
Ou seja, estamos integrando hx de 0 a x e depois dividindo por x para achar a média.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de hx na integral. Sabemos que:
hx = Cx^-1/4
Então, a integral fica:
integral0^x Cx^-1/4 , dx = C integral0^x x^-1/4 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral integral x^-1/4 , dx. A regra básica de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + constante
Aqui, n = -14, então:
integral x^-1/4 , dx = x^-1/4 + 1-1/4 + 1 = x^3/43/4 = 43x^3/4

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
integral0^x Cx^-1/4 , dx = C cdot 43x^3/4 |0^x = C cdot 43x^3/4 - C cdot 43(0)^3/4 = C cdot 43x^3/4
Como (0)^3/4 = 0, a segunda parte desaparece.

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente médio barhx:
barhx = 1x cdot C cdot 43x^3/4 = C cdot 43x^-1/4
Simplificando, temos:
barhx = 43Cx^-1/4

Passo 7

Agora, vamos calcular a razão barhxhx:
barhxhx = 43Cx^-1/4Cx^-1/4 = 43
As Cx^-1/4 se cancelam, restando apenas 43.

Resposta

A razão barhxhx é igual a 43.

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