Verifique se os campos a seguir são possíveis casos de escoamentos incompressíveis. u=y^2+2 x z v=-2 y z+x^2 y z w=12 x^2 z^2+x^3 y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os campos de velocidade dados correspondem a escoamentos incompressíveis. Isso envolve entender como calcular a divergência de um campo de velocidade e verificar se ela é zero. Pra isso, vamos precisar das fórmulas das velocidades , e e saber como derivar cada uma delas em relação às suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembrando rapidinho: um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência é calculada assim:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais para , e fornecidos.

Passo 3

Vamos começar calculando u = y^2 + 2xz partial upartial x = partialpartial x(y^2) + partialpartial x(2xz) = 0 + 2z = 2z :

Passo 4

Agora, vamos calcular v = -2yz + x^2y z partial vpartial y = partialpartial y(-2yz) + partialpartial y(x^2y z) = -2z + x^2z = x^2z - 2z :

Passo 5

Por último, calculamos w = 12x^2z^2 + x^3y^4 partial wpartial z = partialpartial z(12x^2z^2) + partialpartial z(x^3y^4) = x^2z + 0 = x^2z :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
nabla cdot V = 2z + (x^2z - 2z) + x^2z = 2z + x^2z - 2z + x^2z = 2x^2z

Resposta

Como a divergência não é igual a zero, os campos de velocidade fornecidos não representam um escoamento incompressível.

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