Verifique se os campos a seguir são possíveis casos de escoamentos incompressíveis. u=x+y+z^2 v=x-y+z w=2 x y+y^2+4

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se os campos de velocidade dados representam um escoamento incompressível. Um escoamento incompressível significa que a densidade do fluido permanece constante, ou seja, não há variação no volume do fluido enquanto ele se move. Para isso, vamos usar o conceito de divergência do campo de velocidade. Se a divergência for igual a zero, o escoamento é incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo de velocidade. Para um campo dado por nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z , a divergência é:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente do campo de velocidade em relação à sua variável correspondente.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para partial upartial x = partialpartial x(x) + partialpartial x(y) + partialpartial x(z^2) = 1 + 0 + 0 = 1 :
partial vpartial y = partialpartial y(x) - partialpartial y(y) + partialpartial y(z) = 0 - 1 + 0 = -1
  1. Para partial wpartial z = partialpartial z(2xy) + partialpartial z(y^2) + partialpartial z(4) = 0 + 0 + 0 = 0 :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergência:
nabla cdot V = 1 + (-1) + 0 = 0
Como a divergência é igual a zero, isso confirma que o escoamento é incompressível.

Resposta

Sim, os campos dados representam um escoamento incompressível, já que a divergência do campo de velocidade é igual a zero.

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