Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma:
Nux=0,04 Rex^0,9 Pr^1 / 3
Onde Nux é o valor local do número de Nusselt na posição x, medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local (1,11)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor em uma placa plana com superfície muito rugosa. O enunciado nos dá uma expressão que relaciona o número de Nusselt local ( Nux) com o número de Reynolds local ( Rex) e o número de Prandtl ( Pr). Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local, que sabemos que é igual a 1,11. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o coeficiente de transferência de calor local e médio e como relacioná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número de Nusselt ( Nu) é uma medida adimensional da transferência de calor convectiva em relação à condução térmica. Ele está relacionado ao coeficiente de transferência de calor convectivo ( h) pela fórmula:
Nu = h Lk
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor convectivo,
  • L é uma dimensão característica (no nosso caso, a posição x na placa),
  • k é a condutividade térmica do fluido.

Passo 3

Dado que temos a expressão para Nux:
Nux = 0,04 Rex^0,9 Pr^1/3
Podemos substituir a definição do número de Nusselt na equação acima:
hx xk = 0,04 Rex^0,9 Pr^1/3
Resolvendo para hx:
hx = 0,04 kx Rex^0,9 Pr^1/3

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de calor médio ( hm) ao longo da placa. O coeficiente médio pode ser encontrado integrando o coeficiente local hx ao longo do comprimento da placa e dividindo pelo comprimento total. Matemáticamente:
hm = 1L integral0^L hx , dx
Onde L é o comprimento total da placa.

Passo 5

Substituindo a expressão de hx na integral:
hm = 1L integral0^L 0,04 kx Rex^0,9 Pr^1/3 , dx
Assumindo que o fluxo é laminar e que a velocidade do fluido é constante, o número de Reynolds local Rex pode ser expresso como:
Rex = rho U xmu
Onde:
  • rho é a densidade do fluido,
  • U é a velocidade do fluido,
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 6

Substituindo Rex na expressão de hx:
hx = 0,04 kx ( rho U xmu )^0,9 Pr^1/3
Simplificando a expressão:
hx = 0,04 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 x^-0,1 Pr^1/3

Passo 7

Agora, substituímos hx na integral para encontrar hm:
hm = 1L integral0^L 0,04 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 x^-0,1 Pr^1/3 , dx
A integral de x^-0,1 de 0 a L é:
integral0^L x^-0,1 , dx = x^0,90,9 gr|0^L = L^0,90,9

Passo 8

Substituindo o resultado da integral na expressão de hm:
hm = 1L cdot 0,04 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 Pr^1/3 cdot L^0,90,9
Simplificando:
hm = 0,040,9 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 L^-0,1 Pr^1/3

Passo 9

Agora, queremos achar a razão entre hm e hx:
hmhx = 0,040,9 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 L^-0,1 Pr^1/3 0,04 k rho^0,9 U^0,9 mu^-0,9 x^-0,1 Pr^1/3
Simplificando os termos:
hmhx = 10,9 L^-0,1 x^-0,1 = 10,9 ( Lx )^-0,1 = 10,9 ( xL )^0,1
Assumindo que estamos avaliando na extremidade da placa ( x = L):
hmhL = 10,9 = 1,11

Resposta

A razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local é igual a 1,11.

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