Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma:
Onde é o valor local do número de Nusselt na posição , medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor em uma placa plana com superfície muito rugosa. O enunciado nos dá uma expressão que relaciona o número de Nusselt local ( ) com o número de Reynolds local ( ) e o número de Prandtl ( ). Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local, que sabemos que é igual a 1,11. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o coeficiente de transferência de calor local e médio e como relacioná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número de Nusselt ( ) é uma medida adimensional da transferência de calor convectiva em relação à condução térmica. Ele está relacionado ao coeficiente de transferência de calor convectivo ( ) pela fórmula:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo,
  • é uma dimensão característica (no nosso caso, a posição na placa),
  • é a condutividade térmica do fluido.

Passo 3

Dado que temos a expressão para :
Podemos substituir a definição do número de Nusselt na equação acima:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de calor médio ( ) ao longo da placa. O coeficiente médio pode ser encontrado integrando o coeficiente local ao longo do comprimento da placa e dividindo pelo comprimento total. Matemáticamente:
Onde é o comprimento total da placa.

Passo 5

Substituindo a expressão de na integral:
Assumindo que o fluxo é laminar e que a velocidade do fluido é constante, o número de Reynolds local pode ser expresso como:
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade do fluido,
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Simplificando a expressão:

Passo 7

Agora, substituímos na integral para encontrar :
A integral de de 0 a é:

Passo 8

Substituindo o resultado da integral na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, queremos achar a razão entre e :
Simplificando os termos:
Assumindo que estamos avaliando na extremidade da placa ( ):

Resposta

A razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local é igual a 1,11.

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