Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
sumn=1^infty(epi)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem a série e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o teorema das séries geométricas, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é a razão comum entre os termos. A principal característica dessa série é que cada termo é vezes o anterior.

Passo 3

O teorema das séries geométricas nos diz que:
  • Se , a série geométrica converge e a soma dela é .
  • Se , a série geométrica diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à nossa série r = epi .
Primeiro, identifique a razão epi approx 2.7183.141 approx 0.865 :
Vamos verificar se :
Sabemos que e , então:
Como , a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série. Mas atenção: nossa série começa em sumn=0^infty r^n = 11 - r , enquanto a fórmula padrão começa em sumn=1^infty r^n = sumn=0^infty r^n - r^0 = 11 - r - 1 . Podemos ajustar isso da seguinte maneira:
A série padrão:
sumn=1^infty(epi)^n = 11 - epi - 1 = 1pi - epi - 1 = pipi - e - 1
Nossa série:
pipi - e - 1 = pi - (pi - e)pi - e = epi - e
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A série converge e sua soma é .

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