Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem a série
e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o teorema das séries geométricas, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é a razão comum entre os termos. A principal característica dessa série é que cada termo é
vezes o anterior.
Passo 3
O teorema das séries geométricas nos diz que:
- Se
, a série geométrica converge e a soma dela é . - Se
, a série geométrica diverge, ou seja, não tem soma finita.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à nossa série
.
Primeiro, identifique a razão
:
Vamos verificar se
:
Sabemos que e
, então:
Sabemos que
Como
, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série. Mas atenção: nossa série começa em
, enquanto a fórmula padrão começa em
. Podemos ajustar isso da seguinte maneira:
A série padrão:
Nossa série:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.
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(Convergência e Divergência) Quais das sequências
a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Dados
e
e
determinar:
.
Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função
, com
representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e
a altura
) da planta no dia
. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é:
(a) 30 dias.
(b) 40 dias.
© 46 dias.
(d) 50 dias.
(e) 55 dias.
(a) 30 dias.
(b) 40 dias.
© 46 dias.
(d) 50 dias.
(e) 55 dias.