Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem a série e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o teorema das séries geométricas, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é a razão comum entre os termos. A principal característica dessa série é que cada termo é vezes o anterior.

Passo 3

O teorema das séries geométricas nos diz que:
  • Se , a série geométrica converge e a soma dela é .
  • Se , a série geométrica diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à nossa série .
Primeiro, identifique a razão :
Vamos verificar se :
Sabemos que e , então:
Como , a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série. Mas atenção: nossa série começa em , enquanto a fórmula padrão começa em . Podemos ajustar isso da seguinte maneira:
A série padrão:
Nossa série:
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A série converge e sua soma é .

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Dados
e
determinar:
.
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(a) 30 dias.
(b) 40 dias.
© 46 dias.
(d) 50 dias.
(e) 55 dias.