Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente mostrar que, para valores de bem grandes, a função é maior que . Isso envolve conceitos de funções exponenciais e logarítmicas, e vamos usar um pouco de cálculo pra provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cresce, mas bem mais devagar que qualquer função potência de . Ou seja, quando aumenta muito, vai dominar . Isso já dá uma pista de que, eventualmente, vai ser maior que .
Passo 3
Para ser mais preciso, vamos analisar o limite da razão entre as duas funções quando tende ao infinito:
Se esse limite for infinito, significa que cresce muito mais rápido que , confirmando que para grande o suficiente.
Passo 4
Calculando o limite:
Isso acontece porque, como mencionei antes, cresce muito mais rápido que . Portanto, o limite é infinito.
Passo 5
Como o limite é infinito, isso prova que existe um valor de a partir do qual será sempre maior que . Ou seja, para todo suficientemente grande, .