Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente mostrar que, para valores de bem grandes, a função é maior que . Isso envolve conceitos de funções exponenciais e logarítmicas, e vamos usar um pouco de cálculo pra provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cresce, mas bem mais devagar que qualquer função potência de . Ou seja, quando aumenta muito, vai dominar . Isso já dá uma pista de que, eventualmente, vai ser maior que .

Passo 3

Para ser mais preciso, vamos analisar o limite da razão entre as duas funções quando tende ao infinito:
Se esse limite for infinito, significa que cresce muito mais rápido que , confirmando que para grande o suficiente.

Passo 4

Calculando o limite:
Isso acontece porque, como mencionei antes, cresce muito mais rápido que . Portanto, o limite é infinito.

Passo 5

Como o limite é infinito, isso prova que existe um valor de a partir do qual será sempre maior que . Ou seja, para todo suficientemente grande, .

Resposta

Para todo suficientemente grande, .

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Prove que
e . Conclua que
d) Verifique que