Então:
a) Mostre que
para todo
suficientemente grande.
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente mostrar que, para valores de
bem grandes, a função
é maior que
. Isso envolve conceitos de funções exponenciais e logarítmicas, e vamos usar um pouco de cálculo pra provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
cresce, mas bem mais devagar que qualquer função potência de
. Ou seja, quando
aumenta muito,
vai dominar
. Isso já dá uma pista de que, eventualmente,
vai ser maior que
.
Passo 3
Para ser mais preciso, vamos analisar o limite da razão entre as duas funções quando
tende ao infinito:
Se esse limite for infinito, significa que
cresce muito mais rápido que
, confirmando que
para
grande o suficiente.
Passo 4
Calculando o limite:
Isso acontece porque, como mencionei antes,
cresce muito mais rápido que
. Portanto, o limite é infinito.
Passo 5
Como o limite é infinito, isso prova que existe um valor de
a partir do qual
será sempre maior que
. Ou seja, para todo
suficientemente grande,
.
Resposta
Para todo
suficientemente grande,
.