Prove que
e . Conclua que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui pede para a gente provar duas coisas sobre uma sequência . Primeiro, que e que . Depois, a gente precisa concluir que . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recursão e fatoriais na matemática.

Passo 2

Vamos começar provando a primeira parte: . Isso parece uma relação de recorrência, onde cada termo depende do termo anterior. Imaginando que seja uma sequência definida dessa maneira, podemos verificar se essa relação faz sentido.

Passo 3

Sabemos que . Então, se substituirmos na relação que queremos provar, temos:
Isso já nos dá o valor de em termos de .

Passo 4

Vamos continuar para :
Percebemos que cada passo adiciona um fator de , mantendo a consistência com a relação inicial.

Passo 5

Agora, observando o padrão que se forma, para , teríamos:
Aqui, é o fatorial de , que representa o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 6

Assim, conseguimos provar que a relação de recorrência leva à expressão final:

Resposta

Exercícios relacionados

Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.
É convergente ou divergente? Justifique
d) Verifique que
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
e)