Prove que
e
. Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui pede para a gente provar duas coisas sobre uma sequência
. Primeiro, que
e que
. Depois, a gente precisa concluir que
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recursão e fatoriais na matemática.
Passo 2
Vamos começar provando a primeira parte:
. Isso parece uma relação de recorrência, onde cada termo depende do termo anterior. Imaginando que
seja uma sequência definida dessa maneira, podemos verificar se essa relação faz sentido.
Passo 3
Sabemos que
. Então, se substituirmos
na relação que queremos provar, temos:
Isso já nos dá o valor de
em termos de
.
Passo 4
Vamos continuar para
:
Percebemos que cada passo adiciona um fator de
, mantendo a consistência com a relação inicial.
Passo 5
Agora, observando o padrão que se forma, para
, teríamos:
Aqui,
é o fatorial de
, que representa o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 6
Assim, conseguimos provar que a relação de recorrência leva à expressão final: