É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
Essa questão está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste do Termo Geral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Para entender o comportamento dessa série, é útil simplificar ou aproximar esse termo para valores grandes de
. Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, temos:
Isso nos dá uma ideia de como a série se comporta quando
cresce.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série que estamos analisando com outra série conhecida que é mais fácil de estudar. A série que escolhemos para comparar é:
Sabemos que essa série é uma série p, onde
. Séries p convergem quando
, então essa série é convergente.
Passo 4
Vamos calcular o limite do quociente entre
e
conforme
tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por
:
Esse limite é um número positivo e finito, então pelo Teste da Comparação, se a série de comparação converge, a nossa série também converge.
Passo 5
Como a série comparativa
é convergente e o limite do quociente dos termos é finito e positivo, a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.