É convergente ou divergente? Justifique. sumk=2^+infty k2 k^3-k+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
sumk=2^+infty k2k^3 - k + 1
Essa questão está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste do Termo Geral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
ak = k2k^3 - k + 1
Para entender o comportamento dessa série, é útil simplificar ou aproximar esse termo para valores grandes de ak approx k2k^3 = 12k^2 . Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, temos:
Isso nos dá uma ideia de como a série se comporta quando cresce.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série que estamos analisando com outra série conhecida que é mais fácil de estudar. A série que escolhemos para comparar é:
sumk=2^+infty 1k^2
Sabemos que essa série é uma série p, onde . Séries p convergem quando , então essa série é convergente.

Passo 4

Vamos calcular o limite do quociente entre limk to infty k2k^3 - k + 11k^2 = limk to infty k cdot k^22k^3 - k + 1 = limk to infty k^32k^3 - k + 1 e limk to infty 12 - 1k^2 + 1k^3 = 12 conforme tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Esse limite é um número positivo e finito, então pelo Teste da Comparação, se a série de comparação converge, a nossa série também converge.

Passo 5

Como a série comparativa é convergente e o limite do quociente dos termos é finito e positivo, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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