Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar os valores de para os quais a série converge. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas, e vamos usar alguns critérios para determinar essa convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum, ou seja, o fator pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo.
Passo 3
Para que uma série geométrica converja, a razão comum precisa satisfazer a condição:
Se essa condição for atendida, a soma da série converge para:
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série . Podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que:
A razão comum .
Passo 5
Para que a série converja, precisamos que:
Como x2 < 1 , podemos simplificar para:
x < 2
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que .