Determine x>0 para que a série seja convergente. sumn=1^+infty x^n2^n

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar os valores de para os quais a série converge. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas, e vamos usar alguns critérios para determinar essa convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^+infty ar^n
onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum, ou seja, o fator pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo.

Passo 3

Para que uma série geométrica converja, a razão comum |r| < 1 precisa satisfazer a condição:
S = a1 - r
Se essa condição for atendida, a soma da série converge para:

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série sumn=1^+infty ( x2 )^n . Podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que:
  • A razão comum .

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que:
| x2 | < 1
Como x2 < 1 , podemos simplificar para:
x < 2
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

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