Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é encontrar os valores de para os quais essa série é convergente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Séries Infinitas e Critérios de Convergência de Séries. Precisaremos analisar o comportamento geral dos termos da série à medida que cresce.
Passo 2
Vamos começar escolhendo um teste de convergência adequado. Nesse caso, o Teste da Raiz é uma boa opção, especialmente porque temos termos da forma . O Teste da Raiz diz que, para uma série , se
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz à nossa série:
Vamos calcular:
Sabemos que:
limn to infty raiz[n]ln n = 1
Portanto, o limite simplifica para:
limn to infty x1 = x
Passo 4
De acordo com o Teste da Raiz:
Se sumn=3^+infty 1ln n , então e a série converge.
Se , então e a série diverge.
Se , precisamos analisar separadamente.
Para , a série se torna:
Conhecemos que cresce sem limite, mas de forma muito lenta. Na verdade, essa série diverge, similar à série harmônica.
Passo 5
Assim, a série converge para todos os valores de que satisfazem .
Resposta
A série é convergente para todos os valores de que satisfazem .