Determine x>0 para que a série seja convergente. sumn=3^+infty x^nln n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=3^+infty x^nln n
O objetivo é encontrar os valores de para os quais essa série é convergente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Séries Infinitas e Critérios de Convergência de Séries. Precisaremos analisar o comportamento geral dos termos da série à medida que cresce.

Passo 2

Vamos começar escolhendo um teste de convergência adequado. Nesse caso, o Teste da Raiz é uma boa opção, especialmente porque temos termos da forma limn to infty raiz[n]|an| = L . O Teste da Raiz diz que, para uma série , se
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz à nossa série:
an = x^nln n
Vamos calcular:
limn to infty raiz[n]|x^nln n| = limn to infty raiz[n]x^nraiz[n]ln n = limn to infty xraiz[n]ln n
Sabemos que:
limn to infty raiz[n]ln n = 1
Portanto, o limite simplifica para:
limn to infty x1 = x

Passo 4

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se sumn=3^+infty 1ln n , então e a série converge.
  • Se , então e a série diverge.
  • Se , precisamos analisar separadamente.
Para , a série se torna:
Conhecemos que cresce sem limite, mas de forma muito lenta. Na verdade, essa série diverge, similar à série harmônica.

Passo 5

Assim, a série converge para todos os valores de que satisfazem .

Resposta

A série é convergente para todos os valores de que satisfazem .

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