Converta cada equação cartesiana para coordenada polar:
  • x^24+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação cartesiana: x = r cos(theta) y = r sin(theta) . O objetivo é converter essa equação para coordenadas polares. Isso significa que, em vez de usar e , vamos usar o raio e o ângulo . Para isso, vamos precisar lembrar das relações básicas entre coordenadas cartesianas e polares:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (r cos(theta))^24 + (r sin(theta))^2 = 1 e na equação original pelas suas expressões em termos de e . Então, onde está o , vamos colocar , e onde está o , vamos colocar :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos elevar ao quadrado cada termo:
r^2 cos^2(theta)4 + r^2 sin^2(theta) = 1

Passo 4

Vamos fatorar o r^2 ( cos^2(theta)4 + sin^2(theta) ) = 1 que está nos dois termos:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 4 para se livrar do denominador:
r^2 ( cos^2(theta) + 4 sin^2(theta) ) = 4

Passo 6

Agora, isolamos r^2 = 4cos^2(theta) + 4 sin^2(theta) dividindo ambos os lados da equação pelo termo entre parênteses:

Passo 7

Para deixar a equação mais elegante, podemos fatorar o denominador:
r^2 = 4cos^2(theta) + 4 sin^2(theta)

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para r = raiz 4cos^2(theta) + 4 sin^2(theta) = 2raiz cos^2(theta) + 4 sin^2(theta) :

Resposta

Então, a equação r = 2raiz cos^2(theta) + 4 sin^2(theta) em coordenadas polares fica:

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