Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é periódica. Se for, temos que encontrar um período para ela. Então, vamos trabalhar com funções trigonométricas e entender o que é periodicidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se ela se repete em intervalos regulares ao longo do eixo x. Esse intervalo é chamado de período da função.
Por exemplo, a função seno (
) é periódica porque ela se repete a cada
unidades. Isso significa que
para qualquer valor de x.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função
. Sabemos que
é uma função periódica com período
. A questão é: como as operações que fazemos na função seno afetam a periodicidade?
Passo 4
Quando aplicamos operações como adição, multiplicação ou divisão a uma função periódica, a periodicidade pode ser mantida ou alterada. No nosso caso, estamos adicionando 2 a
e depois dividindo 1 por isso.
Vamos ver o que acontece:
-
Adição de 2:
ainda será periódico com o mesmo período de , ou seja, . -
Divisão por
: Dividir 1 por uma função periódica geralmente mantém a periodicidade da função original, desde que a função no denominador nunca seja zero.
Passo 5
Verificamos se
nunca é zero. Sabemos que
varia entre -1 e 1. Então:
Adicionando 2:
Isso mostra que
nunca é zero, garantindo que a divisão está sempre definida.
Passo 6
Como
é uma função periódica com período
e a operação de divisão por essa função mantém a periodicidade, podemos concluir que
também é periódica com o mesmo período.
Resposta
Sim, a função
é periódica e seu período é
.