Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
f(x) = 1/(2 + sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é periódica. Se for, temos que encontrar um período para ela. Então, vamos trabalhar com funções trigonométricas e entender o que é periodicidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se ela se repete em intervalos regulares ao longo do eixo x. Esse intervalo é chamado de período da função.
Por exemplo, a função seno ( ) é periódica porque ela se repete a cada unidades. Isso significa que para qualquer valor de x.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa função . Sabemos que é uma função periódica com período . A questão é: como as operações que fazemos na função seno afetam a periodicidade?

Passo 4

Quando aplicamos operações como adição, multiplicação ou divisão a uma função periódica, a periodicidade pode ser mantida ou alterada. No nosso caso, estamos adicionando 2 a e depois dividindo 1 por isso.
Vamos ver o que acontece:
  1. Adição de 2: ainda será periódico com o mesmo período de , ou seja, .
  2. Divisão por : Dividir 1 por uma função periódica geralmente mantém a periodicidade da função original, desde que a função no denominador nunca seja zero.

Passo 5

Verificamos se nunca é zero. Sabemos que varia entre -1 e 1. Então:
Adicionando 2:
Isso mostra que nunca é zero, garantindo que a divisão está sempre definida.

Passo 6

Como é uma função periódica com período e a operação de divisão por essa função mantém a periodicidade, podemos concluir que também é periódica com o mesmo período.

Resposta

Sim, a função é periódica e seu período é .

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