Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.9.
ointc arctg(y) cdot d x-y^2 cdot x1+y^2 d y
Onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular uma integral de linha ao redor de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa integral específica.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região dentro dessa curva. Na matemática, ele é expresso assim:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, e são funções de e , é a curva fechada, e é a região interna à curva.

Passo 3

No nosso exercício, identificamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:

Passo 4

Calculando Q = -y^2 cdot x1+y^2 :
partial Qpartial x = -y^21+y^2
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Calculando P = arctan(y) :
partial Ppartial y = 11+y^2
A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Green substituindo as derivadas encontradas:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA = integral duplaD ( -y^21+y^2 - 11+y^2 ) , dA
Simplificando a expressão dentro da integral:
-y^2 + 11+y^2 = -1

Passo 7

Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD (-1) , dA = -integral duplaD , dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região e multiplicar por -1.

Passo 8

A região Área = 1 times 1 = 1 é um quadrado com lados de comprimento 1, então a área é:
Á

Passo 9

Multiplicando pela constante da integral:
- times 1 = -1

Resposta

O valor da integral é .

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