Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.9.
Onde
é o quadrado de vértices
e
.
24.9.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular uma integral de linha ao redor de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa integral específica.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região dentro dessa curva. Na matemática, ele é expresso assim:
Aqui,
e
são funções de
e
,
é a curva fechada, e
é a região interna à curva.
Passo 3
No nosso exercício, identificamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Passo 4
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Green substituindo as derivadas encontradas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Portanto, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
e multiplicar por -1.
Passo 8
A região
é um quadrado com lados de comprimento 1, então a área é:
Passo 9
Multiplicando pela constante da integral:
Resposta
O valor da integral é
.