Converta para coordenadas polares e calcule os limites.
c) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando o ponto se aproxima de . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente limites em duas variáveis. Para resolver isso, vamos converter a função para coordenadas polares e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto pode ser representado como , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo com o eixo .

Passo 3

Agora, substituímos x yraizx^2+2 y^2 = (r cos theta)(r sin theta)raiz(r cos theta)^2 + 2 (r sin theta)^2 e na função original usando essas expressões em termos de e :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
(r cos theta)(r sin theta) = r^2 cos theta sin theta
No denominador:
raiz(r cos theta)^2 + 2 (r sin theta)^2 = raizr^2 cos^2 theta + 2 r^2 sin^2 theta = r raizcos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 5

Agora, juntando tudo:
r^2 cos theta sin thetar raizcos^2 theta + 2 sin^2 theta = r cos theta sin thetaraizcos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 6

Para calcular o limite quando , ou seja, quando , observamos que o termo está multiplicando a fração envolvendo . Como tende a zero, todo o termo tende a zero, independentemente do valor de .

Resposta

lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+2 y^2 = 0

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