Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
a) f(x, y) = e^(x - y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir todos os pontos onde a função é diferenciável. Isso envolve entender o conceito de diferenciabilidade e como ele se aplica a funções de duas variáveis.

Passo 2

Diferenciabilidade em funções de várias variáveis significa que a função tem derivadas parciais que são contínuas no ponto em questão. Basicamente, queremos verificar onde as derivadas parciais de existem e são contínuas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para a derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos do plano .
Observamos que a função exponencial é contínua para todos os valores de e , e multiplicar por também mantém essa continuidade, já que é contínuo em todo o domínio.

Passo 5

Como as derivadas parciais e existem e são contínuas para todos os valores de e , podemos concluir que a função é diferenciável em todo o plano.

Resposta

A função é diferenciável para todos os valores reais de e , ou seja, em todo .

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