Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir todos os pontos onde a função
é diferenciável. Isso envolve entender o conceito de diferenciabilidade e como ele se aplica a funções de duas variáveis.
Passo 2
Diferenciabilidade em funções de várias variáveis significa que a função tem derivadas parciais que são contínuas no ponto em questão. Basicamente, queremos verificar onde as derivadas parciais de
existem e são contínuas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para a derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos do plano
.
Observamos que a função exponencial
é contínua para todos os valores de
e
, e multiplicar por
também mantém essa continuidade, já que
é contínuo em todo o domínio.
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas para todos os valores de
e
, podemos concluir que a função
é diferenciável em todo o plano.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os valores reais de
e
, ou seja, em todo
.