Encontre as Transformadas de Laplace Inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa da função
. Isso tá dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Pra resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois usar as tabelas de transformadas para achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Pra facilitar, a gente vai completar o quadrado. Isso significa reescrever a expressão de uma forma que fique mais fácil de identificar padrões que conhecemos das transformadas de Laplace.
Passo 3
Completando o quadrado no denominador:
Então, o denominador fica
.
Passo 4
Agora, nossa função fica:
Vamos manipular o numerador para que ele fique em termos de
, já que isso vai nos ajudar a usar as transformadas conhecidas.
Passo 5
Escrevendo o numerador
de uma forma que envolva
:
Então, substituindo na função:
Passo 6
Agora, a gente separa a função em duas frações:
Isso é útil porque conhecemos as transformadas de Laplace inversas dessas formas.
Passo 7
Lembrando das tabelas de transformadas, sabemos que:
e
No nosso caso,
e
.
Passo 8
Aplicando essas fórmulas:
e
Passo 9
Finalmente, somamos as duas partes para obter a transformada de Laplace inversa completa:
Resposta
A Transformada de Laplace Inversa de
é: