Encontre a equação cartesiana da curva dada por . Em seguida, determine onde essa curva intersecta a reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da curva que está descrita pelas funções paramétricas e . Depois, vamos descobrir onde essa curva cruza a reta . Vamos precisar usar conceitos de parametrização e sistemas de equações para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre e sem o parâmetro . Para isso, vamos isolar na equação de .
Temos:
Vamos resolver para :

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir esse valor na equação de para eliminar o parâmetro.
Temos:
Substituindo :
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a equação cartesiana da curva é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essa curva intersecta a reta . Para isso, vamos igualar as duas equações de :
Vamos resolver essa equação para . Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Vamos expandir :

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos calcular o discriminante para verificar se há soluções reais:
Onde , , e :
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais para . Isso significa que a curva e a reta não se intersectam no plano real.

Resposta

A curva dada pela equação não intersecta a reta .

Exercícios relacionados

Converta as equações paramétricas para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta .
Seja a curva parametrizada . O comprimento de é:
Escolha uma opção:

  • ○ 2

Para as equações paramétricas , encontre a equação da linha tangente em .
Determine a linha tangente à curva em .