Encontre a equação cartesiana da curva dada por
. Em seguida, determine onde essa curva intersecta a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da curva que está descrita pelas funções paramétricas
e
. Depois, vamos descobrir onde essa curva cruza a reta
. Vamos precisar usar conceitos de parametrização e sistemas de equações para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Para isso, vamos isolar
na equação de
.
Temos:
Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
para eliminar o parâmetro.
Temos:
Substituindo
:
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a equação cartesiana da curva é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essa curva intersecta a reta
. Para isso, vamos igualar as duas equações de
:
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Vamos expandir
:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos calcular o discriminante
para verificar se há soluções reais:
Onde
,
, e
:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais para
. Isso significa que a curva e a reta não se intersectam no plano real.
Resposta
A curva dada pela equação
não intersecta a reta
.
Exercícios relacionados
Converta as equações paramétricas
para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta
.
Seja
a curva parametrizada
. O comprimento de
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○ 2 -
-
Para as equações paramétricas
, encontre a equação da linha tangente em
.
Determine a linha tangente à curva
em
.