Para as equações paramétricas , encontre a equação da linha tangente em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações paramétricas:
O que a gente precisa fazer é encontrar a equação da linha tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas no momento . Isso significa que substituímos nas equações paramétricas:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, vamos precisar das derivadas de e em relação a . Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar a inclinação da tangente.
Calculando :
Calculando :
Agora, substituímos nessas derivadas:
Passo 4
Parece que tanto quanto são zero em . Isso significa que a taxa de variação tanto de quanto de em relação a é zero naquele ponto, o que indica um ponto estacionário.
Entretanto, para encontrar a equação da tangente, precisamos da inclinação , que é dada por:
Mas aqui temos uma situação indeterminada . Isso sugere que precisamos examinar mais a fundo o comportamento da curva em torno de .
Passo 5
Vamos analisar as derivadas próximas a . Podemos expandir e em torno de :
Isso mostra que à medida que se aproxima de 1, e se comportam de forma suave, e a curva tem uma tangente horizontal no ponto . Portanto, a inclinação da tangente é zero.