Represente graficamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral
l=integral0^pi6 raiz48 cos ^2 theta+48 sin ^2 theta d theta+integralpi6^pi2 raiz16 sin ^2 theta+16 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, galera! Vamos lá: o exercício pede para a gente calcular o comprimento de um arco que é dado por essa integral aí. Isso tá ligado ao estudo de cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de curvas usando integrais. A gente vai precisar mexer com funções trigonométricas e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que representa o comprimento do arco:
l = integral0^pi6 raiz48 cos ^2 theta + 48 sin ^2 theta , dtheta + integralpi6^pi2 raiz16 sin ^2 theta + 16 cos ^2 theta , dtheta
Vou simplificar cada parte da raiz quadrada para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
raiz48 cos ^2 theta + 48 sin ^2 theta
Perceba que temos um fator comum de 48. Então, podemos fatorar:
raiz48 (cos ^2 theta + sin ^2 theta)
Sabemos que cos ^2 theta + sin ^2 theta = 1, então:
raiz48 times 1 = raiz48 = 4raiz3
Portanto, a primeira integral fica:
integral0^pi6 4raiz3 , dtheta

Passo 4

Agora vamos para a segunda integral:
raiz16 sin ^2 theta + 16 cos ^2 theta
Assim como antes, temos um fator comum de 16:
raiz16 (sin ^2 theta + cos ^2 theta)
E novamente, sin ^2 theta + cos ^2 theta = 1, então:
raiz16 times 1 = raiz16 = 4
Portanto, a segunda integral fica:
integralpi6^pi2 4 , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma das integrais simplificadas.
Primeira integral:
integral0^pi6 4raiz3 , dtheta = 4raiz3 times [ theta ]0^pi6 = 4raiz3 times ( pi6 - 0 ) = 4raiz3 pi6 = 2raiz3 pi3
Segunda integral:
integralpi6^pi2 4 , dtheta = 4 times [ theta ]pi6^pi2 = 4 times ( pi2 - pi6 ) = 4 times ( 3pi - pi6 ) = 4 times 2pi6 = 8pi6 = 4pi3

Passo 6

Agora, vamos somar os resultados das duas integrais para encontrar o comprimento total do arco:
l = 2raiz3 pi3 + 4pi3 = 2raiz3 pi + 4pi3 = pi (2raiz3 + 4)3
Podemos simplificar ainda mais, se preferir:
l = pi (4 + 2raiz3)3 = 2pi (2 + raiz3)3

Resposta

O comprimento total do arco é 2pi (2 + raiz3)3.

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