Represente graficamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral
Passo 1
Beleza, galera! Vamos lá: o exercício pede para a gente calcular o comprimento de um arco que é dado por essa integral aí. Isso tá ligado ao estudo de cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de curvas usando integrais. A gente vai precisar mexer com funções trigonométricas e integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que representa o comprimento do arco:
Vou simplificar cada parte da raiz quadrada para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
Perceba que temos um fator comum de 48. Então, podemos fatorar:
Sabemos que
, então:
Portanto, a primeira integral fica:
Passo 4
Agora vamos para a segunda integral:
Assim como antes, temos um fator comum de 16:
E novamente,
, então:
Portanto, a segunda integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada uma das integrais simplificadas.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, vamos somar os resultados das duas integrais para encontrar o comprimento total do arco:
Podemos simplificar ainda mais, se preferir:
Resposta
O comprimento total do arco é
.
Exercícios relacionados
Uma curva de equação
é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando
.
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
(a)
Seja a região limitada abaixo pelo cone
, acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
Seja
Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação
em torno do eixo
, supondo
.