Ao converter a equação polar r = 2 sen θ + 3 cosθ em equação cartesiana, obtém-se:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação polar que é $ r = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta $ e precisa transformar isso em uma equação cartesiana, ou seja, em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que nas coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $. Para converter para coordenadas cartesianas, usamos as fórmulas:
r
theta
Também sabemos que $ r^2 = x^2 + y^2 $.

Passo 3

Agora, vamos começar a transformação. A equação dada é:
r = 2 sin theta + 3 cos theta
Para facilitar, vamos multiplicar os dois lados por $ r $:
r
Que fica:
r cdot r = r cdot 2 sin theta + r cdot 3 cos theta

Passo 4

Substituindo as relações cartesianas que mencionamos antes:
r^2 = x^2 + y^2
r sin theta = y
r cos theta = x
Então, substituindo na equação:
x^2 + y^2 = 2y + 3x

Passo 5

Agora, vamos organizar essa equação para deixá-la na forma padrão. Vamos trazer todos os termos para um lado:
x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0
Para identificar se essa é a equação de um círculo, precisamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e $ y $.

Passo 6

Vamos completar o quadrado para $ x $ e para $ y $:
x
Para $ x $:
y
Para $ y $:
x^2 - 3x + y^2 - 2y = 0
Substituindo de volta na equação:
x

Passo 7

Agora, somamos os termos constantes:
(x - 32)^2 + (y - 1)^2 - 134 = 0
Isolando os termos quadráticos:
(x - 32)^2 + (y - 1)^2 = 134

Resposta

A equação cartesiana equivalente é:
(x - 32)^2 + (y - 1)^2 = 134

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