Ao converter a equação polar r = 2 sen θ + 3 cosθ em equação cartesiana, obtém-se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação polar que é $ r = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta $ e precisa transformar isso em uma equação cartesiana, ou seja, em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que nas coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $. Para converter para coordenadas cartesianas, usamos as fórmulas:
Também sabemos que $ r^2 = x^2 + y^2 $.
Passo 3
Agora, vamos começar a transformação. A equação dada é:
Para facilitar, vamos multiplicar os dois lados por $ r $:
Que fica:
Passo 4
Substituindo as relações cartesianas que mencionamos antes:
Então, substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos organizar essa equação para deixá-la na forma padrão. Vamos trazer todos os termos para um lado:
Para identificar se essa é a equação de um círculo, precisamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e $ y $.
Passo 6
Vamos completar o quadrado para $ x $ e para $ y $:
Para $ x $:
Para $ y $:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, somamos os termos constantes:
Isolando os termos quadráticos:
Resposta
A equação cartesiana equivalente é: