O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação 2x + 3y - 4 = 0 é o ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto que é simétrico ao ponto (1,5) em relação à reta 2x + 3y - 4 = 0. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre simetria de pontos em relação a uma reta. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que nos ajudem a encontrar esse ponto simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta dada: 2x + 3y - 4 = 0. Essa é a equação da reta em que vamos refletir o ponto (1,5).

Passo 3

A próxima etapa é usar a fórmula para encontrar o ponto simétrico em relação a uma reta. Se a reta é dada por ax + by + c = 0 e o ponto é (x₀, y₀), o ponto simétrico (x’, y’) pode ser calculado assim:
x' = x0 - 2a(ax0 + by0 + c)a^2 + b^2
y' = y0 - 2b(ax0 + by0 + c)a^2 + b^2
No nosso caso, a = 2, b = 3 e c = -4. E o ponto dado é (1,5).

Passo 4

Vamos calcular primeiro o valor de $ ax_0 + by_0 + c $:
ax0 + by0 + c

Passo 5

Agora, vamos calcular $ a^2 + b^2 $:
a^2 + b^2

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula para x’:
x' = 1 - 2 times 2 times 1313 = 1 - 5213 = 1 - 4 = -3

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula para y’:
y' = 5 - 2 times 3 times 1313 = 5 - 7813 = 5 - 6 = -1

Resposta

O ponto simétrico de (1,5) em relação à reta 2x + 3y - 4 = 0 é (-3, -1).

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