Converting to a double integral Evaluate the integral
(Hint: Write the integrand as an integral.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa avaliar a integral definida:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de transformar uma integral simples em uma integral dupla. Isso envolve entender como expressar a diferença das funções arctan como uma integral interna. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre duas funções arctan pode ser escrita como uma integral. A função tem a derivada:
Então, a diferença pode ser representada como:
Isso porque estamos basicamente acumulando a taxa de variação da função arctan de até .
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na integral original. Ficamos com uma integral dupla:
Onde é a região no plano onde e .
Passo 4
Para facilitar a avaliação, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos determinar os limites de integração na nova ordem. Observando a região :
Para entre e , varia de até .
Para entre e , varia de até .
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver as integrais internas em :
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Substituindo de volta na integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição , , então:
Avaliada de a :
Multiplicando pelo fator:
Segunda integral:
Resolvendo cada termo:
Para :
Para :
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral avaliada é: