Converting to a double integral Evaluate the integral
integral0^2(tan ^-1 pi x-tan ^-1 x) d x
(Hint: Write the integrand as an integral.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa avaliar a integral definida:
integral0^2(tan^-1 (pi x) - tan^-1 (x)) dx
Para resolver isso, vamos usar o conceito de transformar uma integral simples em uma integral dupla. Isso envolve entender como expressar a diferença das funções arctan como uma integral interna. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre duas funções arctan pode ser escrita como uma integral. A função tan^-1(x) tem a derivada:
ddx tan^-1(x) = 11 + x^2
Então, a diferença tan^-1 (pi x) - tan^-1 (x) pode ser representada como:
integralx^pi x 11 + t^2 dt
Isso porque estamos basicamente acumulando a taxa de variação da função arctan de x até pi x.

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original. Ficamos com uma integral dupla:
integral0^2 ( integralx^pi x 11 + t^2 dt ) dx = integral duplaD 11 + t^2 dt dx
Onde D é a região no plano (x, t) onde 0 <= x <= 2 e x <= t <= pi x.

Passo 4

Para facilitar a avaliação, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em t e depois em x, vamos integrar primeiro em x e depois em t.
Para isso, precisamos determinar os limites de integração na nova ordem. Observando a região D:
  • Para t entre 0 e 2, x varia de t/pi até t.
  • Para t entre 2 e 2pi, x varia de t/pi até 2.
Então, nossa integral dupla fica:
integral0^2 ( integralt/pi^t dx ) 11 + t^2 dt + integral2^2pi ( integralt/pi^2 dx ) 11 + t^2 dt

Passo 5

Vamos resolver as integrais internas em x:
  1. Para a primeira parte:
integralt/pi^t dx = t - tpi = t(1 - 1pi)
  1. Para a segunda parte:
integralt/pi^2 dx = 2 - tpi
Substituindo de volta na integral dupla:
(1 - 1pi) integral0^2 t1 + t^2 dt + integral2^2pi 2 - tpi1 + t^2 dt

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
(1 - 1pi) integral0^2 t1 + t^2 dt
Fazendo a substituição u = 1 + t^2, du = 2t dt, então:
integral t1 + t^2 dt = 12 ln|1 + t^2| + C
Avaliada de 0 a 2:
12 ln(5) - 12 ln(1) = 12 ln(5)
Multiplicando pelo fator:
(1 - 1pi) cdot 12 ln(5) = 12(1 - 1pi) ln(5)
  1. Segunda integral:
integral2^2pi 2 - tpi1 + t^2 dt = 2 integral2^2pi 11 + t^2 dt - 1pi integral2^2pi t1 + t^2 dt
Resolvendo cada termo:
  • Para 2 integral 11 + t^2 dt:
2 [ tan^-1(t) ]2^2pi = 2(tan^-1(2pi) - tan^-1(2))
  • Para -1pi integral t1 + t^2 dt:
-1pi cdot 12 ln(1 + t^2) |2^2pi = -12pi ( ln(1 + (2pi)^2) - ln(5) )

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral avaliada é:
12(1 - 1pi) ln(5) + 2(tan^-1(2pi) - tan^-1(2)) - 12pi ln(1 + 4pi^2)
Isso é o valor final da integral dada!

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