Esboce o gráfico das seguintes funções:
(e) g(x) = |2x + x^2|

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com funções que envolvem valor absoluto, então vamos precisar entender quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa. Para isso, vamos analisar a função quadrática e determinar seus zeros, ou seja, os pontos onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que tornam . Podemos fatorar essa expressão:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo determinado pelos zeros encontrados:
  1. Para :
    Vamos escolher um valor, por exemplo, :
    Então, é positivo nesse intervalo, e o valor absoluto não altera o sinal.
  2. Para :
    Escolhendo :
    Aqui, é negativo, então o valor absoluto vai inverter o sinal.
  3. Para :
    Escolhendo :
    Novamente, a expressão é positiva, e o valor absoluto não muda o sinal.

Passo 4

Com base nisso, podemos reescrever a função sem o valor absoluto, considerando os intervalos:
Isso facilita o esboço do gráfico, já que podemos plotar cada parte separadamente.

Passo 5

Agora, vamos identificar alguns pontos importantes:
  • Pontos onde e :
    • Para :
    • Para :
  • Vértice da parábola :
    A função quadrática tem vértice em .

Passo 6

Com esses pontos e entendendo os intervalos, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para :
    A função é , que é uma parábola voltada para cima.
  2. Para :
    A função é , que é a parábola invertida.
  3. Para :
    A função volta a ser .

Resposta

O gráfico de é uma função em “V” criada pela parábola refletida sobre o eixo no intervalo . Os pontos importantes são , e . O esboço mostra uma parábola voltada para cima nos intervalos e , e uma parábola voltada para baixo entre e .

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