Find the volume of the region bounded above by the paraboloid and below by the triangle enclosed by the lines , and in the -plane.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está acima do paraboloide e abaixo do triângulo no plano delimitado pelas retas , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume entre essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área sobre a qual vamos integrar. O triângulo é definido pelas retas , e . Vamos esboçar esse triângulo para identificar os limites de integração.
Passo 3
As retas é o eixo , é uma linha que passa pela origem com inclinação 45°, e é uma linha que intercepta os eixos e em 2. O triângulo formado tem vértices em (0,0), (2,0) e (1,1).
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo, para variando de 0 a 1, vai de até . Para de 1 a 2, vai de 0 até . Mas, para simplificar, vamos integrar de 0 a 2 e ajustar os limites de de acordo.
Passo 5
O volume entre o paraboloide e o triângulo pode ser encontrado integrando a função sobre a área do triângulo. Então, nosso integral duplo fica: