Find the volume of the region bounded above by the paraboloid z = x^2 + y^2 and below by the triangle enclosed by the lines y = x, x = 0, and x + y = 2 in the x y-plane.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está acima do paraboloide e abaixo do triângulo no plano delimitado pelas retas , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume entre essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área sobre a qual vamos integrar. O triângulo é definido pelas retas , e . Vamos esboçar esse triângulo para identificar os limites de integração.

Passo 3

As retas é o eixo , é uma linha que passa pela origem com inclinação 45°, e é uma linha que intercepta os eixos e em 2. O triângulo formado tem vértices em (0,0), (2,0) e (1,1).

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo, para variando de 0 a 1, vai de até . Para de 1 a 2, vai de 0 até . Mas, para simplificar, vamos integrar de 0 a 2 e ajustar os limites de de acordo.

Passo 5

O volume entre o paraboloide e o triângulo pode ser encontrado integrando a função sobre a área do triângulo. Então, nosso integral duplo fica:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 7

Agora, simplificamos a expressão obtida:
Somando as duas partes:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a :

Passo 9

Calculando os limites de integração:
Para :
Para :
Todos os termos são zero.

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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