• Couridere a Tranffor macas linear:
& T: R^3 longrightarrow R^4 &(x, y, z) longmapsto T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,
Rescrevends $T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z ; Determine o núcles e a Imagem desta Trainforma yas: Chual é a dimensás do núdeo ea dimensás da unagen de T?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear chamada T(x, y, z) = (x - y - z, , x + y + z, , 2x - y + z) que vai de para . A transformação é definida por:
A tarefa é determinar o núcleo (ou “núcleo”) e a imagem dessa transformação. Além disso, precisamos descobrir as dimensões tanto do núcleo quanto da imagem de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleos e imagens.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = 0 , denotado por T(x, y, z) = (x - y - z, , x + y + z, , 2x - y + z) = (0, 0, 0) , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Então, para encontrar o núcleo, vamos resolver a equação:

Passo 3

Vamos transformar essa equação em um sistema de equações lineares:
x - y - z = 0 x + y + z = 0 2x - y + z = 0
Nosso objetivo agora é resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
x - y - z = 0 Rightarrow x = y + z (1)
Segunda equação:
x + y + z = 0 (2)
Substituindo (y + z) + y + z = 0 Rightarrow 2y + 2z = 0 Rightarrow y + z = 0 (3) da equação (1) na equação (2):
2x - y + z = 0 (4)
Terceira equação:
2(y + z) - y + z = 0 Rightarrow 2y + 2z - y + z = 0 Rightarrow y + 3z = 0 Rightarrow y = -3z (5)
Substituindo y + z = 0 Rightarrow -3z + z = 0 Rightarrow -2z = 0 Rightarrow z = 0 na equação (4):
y = -3(0) = 0
Agora, usando a equação (3):
x = 0 + 0 = 0
Substituindo na equação (5):
E substituindo e na equação (1):
Então, a única solução é .

Passo 5

Agora que encontramos que o único vetor no núcleo é o vetor zero, isso significa que . Quando o núcleo contém apenas o vetor zero, dizemos que a aplicação é injetora (ou seja, não “separa” vetores diferentes).
Para encontrar a imagem de , vamos identificar todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em .

Passo 6

A imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 é gerada pelas combinações lineares das colunas da matriz associada a . Vamos primeiro escrever a matriz de :
Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos determinar o posto (rank) dessa matriz, que é o número de colunas linearmente independentes.

Passo 7

Vamos calcular o posto da matriz R2 = R2 - R1 Rightarrow 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 2 & -1 & 1 fazendo a redução para a forma escalonada.
Primeiro, podemos deixar a primeira coluna como está. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
R3 = R3 - 2R1 Rightarrow 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R2 = 12R2 Rightarrow 1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 3
Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. O pivô agora é 2 na posição (2,2). Vamos eliminar o elemento abaixo desse pivô.
Multiplicando a segunda linha por R3 = R3 - R2 Rightarrow 1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 para simplificar:
Subtraindo a segunda linha da terceira linha:
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos ver que há 3 pivôs (um em cada linha). Isso significa que o posto da matriz é 3.

Passo 8

Como o posto da matriz é 3, isso significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 3. Ou seja, .
Recapitulando:
  • Núcleo de : com dimensão 0.
  • Imagem de : tem dimensão 3.

Resposta

O núcleo de é apenas o vetor zero e a imagem de é um subespaço de com dimensão 3. Portanto:
  • Núcleo de : (dimensão 0)
  • Imagem de : tem dimensão 3

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