Rescrevends $T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z ; Determine o núcles e a Imagem desta Trainforma yas: Chual é a dimensás do núdeo ea dimensás da unagen de T?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear chamada que vai de para . A transformação é definida por:
A tarefa é determinar o núcleo (ou “núcleo”) e a imagem dessa transformação. Além disso, precisamos descobrir as dimensões tanto do núcleo quanto da imagem de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleos e imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Então, para encontrar o núcleo, vamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos transformar essa equação em um sistema de equações lineares:
Nosso objetivo agora é resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
x - y - z = 0 Rightarrow x = y + z (1)
Segunda equação:
x + y + z = 0 (2)
Substituindo (y + z) + y + z = 0 Rightarrow 2y + 2z = 0 Rightarrow y + z = 0 (3) da equação (1) na equação (2):
2x - y + z = 0 (4)
Terceira equação:
2(y + z) - y + z = 0 Rightarrow 2y + 2z - y + z = 0 Rightarrow y + 3z = 0 Rightarrow y = -3z (5)
Substituindo y + z = 0 Rightarrow -3z + z = 0 Rightarrow -2z = 0 Rightarrow z = 0 na equação (4):
y = -3(0) = 0
Agora, usando a equação (3):
x = 0 + 0 = 0
Substituindo na equação (5):
E substituindo e na equação (1):
Então, a única solução é .
Passo 5
Agora que encontramos que o único vetor no núcleo é o vetor zero, isso significa que . Quando o núcleo contém apenas o vetor zero, dizemos que a aplicação é injetora (ou seja, não “separa” vetores diferentes).
Para encontrar a imagem de , vamos identificar todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em .
Passo 6
A imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 é gerada pelas combinações lineares das colunas da matriz associada a . Vamos primeiro escrever a matriz de :
Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos determinar o posto (rank) dessa matriz, que é o número de colunas linearmente independentes.
Passo 7
Vamos calcular o posto da matriz R2 = R2 - R1 Rightarrow 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 2 & -1 & 1 fazendo a redução para a forma escalonada.
Primeiro, podemos deixar a primeira coluna como está. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).