Determinar, se possivel, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-11 AM seja diagonal, nos seguintes casos: (rr 3 & -2 2 & 1 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se possível, uma matriz M in M2(R) de forma que M^-1 A M seja diagonal. O conteúdo envolvido aqui é a diagonalização de matrizes, que utiliza conceitos de matrizes semelhantes e autovalores/autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz A para construir a matriz M.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica para nossa matriz A:
det(cc 3 - lambda & -2 2 & 1 - lambda ) = (3 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(2) = 0
Simplificando:
(3 - lambda)(1 - lambda) + 4 = 0 3 - 4lambda + lambda^2 + 4 = 0 lambda^2 - 4lambda + 7 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 4lambda + 7 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 72 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 282 = 4 pm raiz-122
Como o discriminante é negativo ( -12), não existem autovalores reais para a matriz A.

Passo 5

Como a matriz A não possui autovalores reais, não é possível diagonalizá-la usando matrizes reais. Portanto, não existe uma matriz M in M2(R) que satisfaz a condição dada.

Resposta

Não existe uma matriz M in M2(R) que diagonalize a matriz A conforme solicitado.

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