Determinar, se possivel, uma matriz
de maneira que
AM seja diagonal, nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar, se possível, uma matriz
de forma que
seja diagonal. O conteúdo envolvido aqui é a diagonalização de matrizes, que utiliza conceitos de matrizes semelhantes e autovalores/autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz
para construir a matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a equação característica para nossa matriz
:
Simplificando:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo (
), não existem autovalores reais para a matriz
.
Passo 5
Como a matriz
não possui autovalores reais, não é possível diagonalizá-la usando matrizes reais. Portanto, não existe uma matriz
que satisfaz a condição dada.
Resposta
Não existe uma matriz
que diagonalize a matriz
conforme solicitado.