As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. (1,-2). i) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r>0 e 0 <= theta <= 2 pi. ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto com coordenadas cartesianas (1, -2). Precisamos encontrar suas coordenadas polares (r, theta) de duas maneiras:
i) Onde r > 0 e 0 <= theta <= 2pi.
ii) Onde r < 0 e 0 <= theta <= 2pi.
Para isso, vamos usar a relação entre coordenadas cartesianas e polares, que envolve algumas fórmulas trigonométricas.

Passo 2

Vamos lembrar das fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas (x, y) com as polares (r, theta):
r = raizx^2 + y^2
theta = tan^-1(yx)
Essas fórmulas nos dizem que r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo dos x.

Passo 3

Vamos calcular r usando a primeira fórmula:
r = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Então, r = raiz5.

Passo 4

Agora, vamos encontrar theta usando a segunda fórmula:
theta = tan^-1(-21) = tan^-1(-2)
Como x = 1 > 0 e y = -2 < 0, o ponto está no quarto quadrante. Isso significa que o ângulo theta estará entre 3pi2 e 2pi radianos.

Passo 5

Vamos calcular o valor de tan^-1(2):
tan^-1(2) approx 1,1071 radianos
Como o ponto está no quarto quadrante, ajustamos o ângulo:
theta = 2pi - 1,1071 approx 5,1760 radianos

Passo 6

Então, para a parte i) onde r > 0 e 0 <= theta <= 2pi, as coordenadas polares são:
(raiz5, 5,1760 radianos)

Passo 7

Para a parte ii) onde r < 0, mantemos a mesma magnitude para r, mas ajustamos o ângulo theta adicionando pi radianos:
r = -raiz5
theta = 5,1760 - pi approx 2,0345 radianos

Resposta

i) (raiz5, 5,1760) radianos
ii) (-raiz5, 2,0345) radianos

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