Determine as coordenadas da projeção ortogonal
do ponto
sobre o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto
sobre o plano
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial e geometria analítica. Precisaremos da fórmula para projetar um ponto sobre um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano
. A equação do plano é
, então o vetor normal
é formado pelos coeficientes de
e
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para a projeção ortogonal de um ponto
sobre o plano
. A projeção
é dada por:
Onde
é o produto escalar entre o ponto
e o vetor normal
, e
é o termo constante da equação do plano.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula. Primeiro, encontramos
na equação do plano:
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos o módulo ao quadrado de
:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Agora, multiplicamos o escalar
pelo vetor
:
Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto
:
Resposta
A projeção ortogonal
do ponto
sobre o plano
é:
Exercícios relacionados
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Verifique que
é ideal de
e determine
tal que
.
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em