Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto sobre o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto sobre o plano . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial e geometria analítica. Precisaremos da fórmula para projetar um ponto sobre um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano . A equação do plano é , então o vetor normal é formado pelos coeficientes de e , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para a projeção ortogonal de um ponto sobre o plano . A projeção é dada por:
Onde é o produto escalar entre o ponto e o vetor normal , e é o termo constante da equação do plano.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula. Primeiro, encontramos na equação do plano:
Em seguida, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos o módulo ao quadrado de :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Agora, multiplicamos o escalar pelo vetor :
Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto :

Resposta

A projeção ortogonal do ponto sobre o plano é:

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Verifique que é ideal de e determine tal que .
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Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.