Determine as coordenadas da projeção ortogonal M do ponto P=(1,0,1) sobre o plano pi: x-2 y+4 z-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto sobre o plano . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial e geometria analítica. Precisaremos da fórmula para projetar um ponto sobre um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano n = (1, -2, 4) . A equação do plano é , então o vetor normal é formado pelos coeficientes de e , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para a projeção ortogonal de um ponto M = P - (P cdot n + d)|n|^2 n sobre o plano . A projeção é dada por:
Onde é o produto escalar entre o ponto e o vetor normal , e é o termo constante da equação do plano.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula. Primeiro, encontramos x - 2y + 4z - 1 = 0 implies d = -1 na equação do plano:
P cdot n = (1)(1) + (0)(-2) + (1)(4) = 1 + 0 + 4 = 5
Em seguida, calculamos o produto escalar |n|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21 :
Agora, calculamos o módulo ao quadrado de :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
M = P - (5) + (-1)21 n = P - 421 n
Agora, multiplicamos o escalar 421 n = ( 421 cdot 1, 421 cdot (-2), 421 cdot 4 ) = ( 421, -821, 1621 ) pelo vetor M = ( 1 - 421, 0 - (-821), 1 - 1621 ) = ( 1721, 821, 521 ) :
Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto :

Resposta

A projeção ortogonal M = ( 1721, 821, 521 ) do ponto sobre o plano é:

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