Verifique se é ideal do anel comutativo quando:
e

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto é um ideal no anel comutativo . Para isso, precisamos entender o que é um ideal em um anel e quais propriedades ele deve ter. Vamos precisar saber sobre subgrupos aditivos e como multiplicação funciona em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ideal em um anel é um subconjunto que é um subgrupo em relação à adição e que, ao multiplicar qualquer elemento do anel pelo ideal, o resultado ainda está dentro do ideal. Portanto, nosso primeiro passo é verificar se é um subgrupo aditivo de .

Passo 3

Para ser um subgrupo aditivo, ele precisa satisfazer três coisas: conter o elemento neutro da adição, ser fechado sob adição e conter os inversos aditivos de seus elementos.
  1. Elemento neutro: Em , o elemento neutro é , que está em .
  2. Fechamento sob adição: Vamos somar os elementos de e verificar se o resultado está em :
    • (está em )
    • (está em )
    • (está em )
  3. Inversos aditivos: Cada elemento deve ter um inverso que também está em :
    • O inverso de é
    • O inverso de é
    • O inverso de é
Como todas essas condições são satisfeitas, é um subgrupo aditivo de .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se para qualquer elemento e qualquer elemento , o produto também está em . Isso é a condição de absorção necessária para ser um ideal.
Vamos testar isso:
  • Se , então que está em .
  • Se , então pode ser , dependendo do , mas todos estão em .
  • Se , da mesma forma, será , que também estão em .
Então, para qualquer e , o produto está em .

Resposta

Sim, é um ideal do anel .

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