Verifique se
é ideal do anel comutativo
quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos verificar se o conjunto
é um ideal no anel comutativo
. Para isso, precisamos entender o que é um ideal em um anel e quais propriedades ele deve ter. Vamos precisar saber sobre subgrupos aditivos e como multiplicação funciona em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um ideal em um anel é um subconjunto que é um subgrupo em relação à adição e que, ao multiplicar qualquer elemento do anel pelo ideal, o resultado ainda está dentro do ideal. Portanto, nosso primeiro passo é verificar se
é um subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Para
ser um subgrupo aditivo, ele precisa satisfazer três coisas: conter o elemento neutro da adição, ser fechado sob adição e conter os inversos aditivos de seus elementos.
- Elemento neutro: Em
, o elemento neutro é , que está em . - Fechamento sob adição: Vamos somar os elementos de
e verificar se o resultado está em : -
(está em ) -
(está em ) -
(está em )
-
- Inversos aditivos: Cada elemento deve ter um inverso que também está em
: - O inverso de
é - O inverso de
é - O inverso de
é
- O inverso de
Como todas essas condições são satisfeitas,
é um subgrupo aditivo de
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se para qualquer elemento
e qualquer elemento
, o produto
também está em
. Isso é a condição de absorção necessária para
ser um ideal.
Vamos testar isso:
- Se
, então que está em . - Se
, então pode ser , dependendo do , mas todos estão em . - Se
, da mesma forma, será , que também estão em .
Então, para qualquer
e
, o produto
está em
.
Resposta
Sim,
é um ideal do anel
.
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Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.
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As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
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(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.
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