Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em
é zero.
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
. A pergunta é: “Todas as funções contínuas cujo valor médio em
é zero, são um subespaço de
?”. Para resolver isso, precisamos saber o que é um subespaço e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero está em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar se o conjunto das funções contínuas com valor médio zero satisfaz essas três condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A função zero é a função para todo
. O valor médio dessa função é:
A função zero é a função
Portanto, a função zero está no conjunto.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Sejam duas funções e
em
com valor médio zero:
Sejam duas funções
Vamos somá-las:
Assim,
também tem valor médio zero e está no conjunto.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja com valor médio zero e
um número real. Calculamos o valor médio de
:
Seja
Portanto,
Resposta
Sim, o conjunto das funções contínuas cujo valor médio em
é zero forma um subespaço de
.
Exercícios relacionados
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
. i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
. ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Determine as coordenadas da projeção ortogonal
do ponto
sobre o plano
.
Verifique se
é ideal do anel comutativo
quando:
e
Quais dos seguintes são subespaços de
(espaço das funções contínuas no intervalo
):
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.