Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo . A pergunta é: “Todas as funções contínuas cujo valor médio em é zero, são um subespaço de ?”. Para resolver isso, precisamos saber o que é um subespaço e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar se o conjunto das funções contínuas com valor médio zero satisfaz essas três condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero é a função para todo . O valor médio dessa função é:

Portanto, a função zero está no conjunto.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Sejam duas funções e em com valor médio zero:

Vamos somá-las:
Assim, também tem valor médio zero e está no conjunto.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja com valor médio zero e um número real. Calculamos o valor médio de :

Portanto, também tem valor médio zero e está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto das funções contínuas cujo valor médio em é zero forma um subespaço de .

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e
Quais dos seguintes são subespaços de (espaço das funções contínuas no intervalo ):
(d) Todas as funções deriváveis cuja derivada é zero.