Quais dos seguintes são subespaços de C[0,1] (espaço das funções contínuas no intervalo [0,1] ):
© Todas as funções contínuas cujo valor médio em [0,1] é zero.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço C[0,1], que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo [0,1]. A pergunta é: “Todas as funções contínuas cujo valor médio em [0,1] é zero, são um subespaço de C[0,1]?”. Para resolver isso, precisamos saber o que é um subespaço e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto V de um espaço vetorial W é considerado um subespaço se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero está em V.
  2. Fechado sob adição: Se f e g estão em V, então f + g também está em V.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se f está em V e c é um número real, então c cdot f também está em V.
Vamos verificar se o conjunto das funções contínuas com valor médio zero satisfaz essas três condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero é a função f(x) = 0 para todo x in [0,1]. O valor médio dessa função é:
11-0 integral0^1 0 , dx = 0
Portanto, a função zero está no conjunto.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Sejam duas funções f e g em C[0,1] com valor médio zero:
integral0^1 f(x) , dx = 0
integral0^1 g(x) , dx = 0
Vamos somá-las:
integral0^1 (f(x) + g(x)) , dx = integral0^1 f(x) , dx + integral0^1 g(x) , dx = 0 + 0 = 0
Assim, f + g também tem valor médio zero e está no conjunto.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja f in C[0,1] com valor médio zero e c um número real. Calculamos o valor médio de c cdot f:
integral0^1 c cdot f(x) , dx = c cdot integral0^1 f(x) , dx = c cdot 0 = 0
Portanto, c cdot f também tem valor médio zero e está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto das funções contínuas cujo valor médio em [0,1] é zero forma um subespaço de C[0,1].

Exercícios relacionados