As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as coordenadas cartesianas de um ponto, que são dadas como (x, y). Queremos encontrar as coordenadas polares desse ponto, ou seja, os valores de r e theta, onde r < 0 e 0 <= theta <= 2pi. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

A fórmula para encontrar r é:
r = raizx^2 + y^2
Essa fórmula nos dá a distância do ponto à origem (0,0).

Passo 3

Para encontrar theta, usamos a função arco-tangente:
theta = tan^-1(yx)
É importante considerar em qual quadrante o ponto está para determinar o valor correto de theta. Dependendo dos sinais de x e y, podemos precisar ajustar theta adicionando pi ou 2pi para que fique no intervalo de 0 a 2pi.

Passo 4

Como o exercício pede que r < 0, precisamos ajustar as coordenadas polares. Quando r é negativo, isso significa que estamos olhando para o ponto na direção oposta ao ângulo original theta. Para ajustar, fazemos r = -raizx^2 + y^2 e adicionamos pi a theta para apontar na direção correta.

Passo 5

Então, as coordenadas polares com r < 0 são:
r = -raizx^2 + y^2
theta = tan^-1(yx) + pi
Certifique-se de que theta esteja no intervalo de 0 a 2pi ajustando, se necessário, adicionando ou subtraindo 2pi.

Resposta

As coordenadas polares do ponto, com r < 0 e 0 <= theta <= 2pi, são:
r = -raizx^2 + y^2
theta = tan^-1(yx) + pi

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