Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
(j) V=R^2, munido das operações
(x1, y1) oplus(x2, y2) & =(x1+x2+1, y1+y2-2) alpha odot(x, y) & =(alpha x+alpha-1, alpha y-2 alpha+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto , com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa cumprir certas propriedades (ou axiomas) como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, inversos, e distributividade, tanto para adição quanto para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a fechadura na adição. Isso significa que, ao somar dois vetores quaisquer de (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, , y1 + y2 - 2) usando a operação , o resultado também deve estar em .
Dada a operação:
Como são números reais, e também são reais. Portanto, a soma está em , então a fechadura na adição é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u oplus v) oplus w = ( (x1 + x2 + 1, y1 + y2 - 2) oplus (x3, y3) ) = ( (x1 + x2 + 1) + x3 + 1, , (y1 + y2 - 2) + y3 - 2 ) = ( x1 + x2 + x3 + 2, , y1 + y2 + y3 - 4 ) , a equação u oplus (v oplus w) = ( x1, y1 ) oplus ( x2 + x3 + 1, y2 + y3 - 2 ) = ( x1 + (x2 + x3 + 1) + 1, , y1 + (y2 + y3 - 2) - 2 ) = ( x1 + x2 + x3 + 2, , y1 + y2 + y3 - 4 ) deve valer.
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a associatividade está confirmada.

Passo 4

Vamos procurar pelo elemento neutro da adição. O elemento neutro é um vetor (x, y) oplus (a, b) = (x + a + 1, , y + b - 2) = (x, y) tal que, para qualquer vetor x + a + 1 = x Rightarrow a + 1 = 0 Rightarrow a = -1 , y + b - 2 = y Rightarrow b - 2 = 0 Rightarrow b = 2 .
Suponha que . Então:
Isso implica:
Portanto, o elemento neutro seria .

Passo 5

Vamos agora verificar se para todo vetor (x, y) oplus (a, b) = (x + a + 1, , y + b - 2) = (-1, 2) , existe um inverso aditivo x + a + 1 = -1 Rightarrow a = -x - 2 tal que y + b - 2 = 2 Rightarrow b = -y + 4 .
Se , então:
Isso resulta em:
Portanto, o inverso de seria .

Passo 6

Vamos conferir a fechadura na multiplicação por escalar. Para qualquer escalar alpha odot (x, y) = (alpha x + alpha - 1, , alpha y - 2alpha + 2) e vetor , o produto deve também estar em .
Dada a operação:
Como são reais, os componentes resultantes também são reais. Assim, a fechadura na multiplicação por escalar é satisfeita.

Passo 7

Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja, para quaisquer escalares alpha odot (u oplus v) = alpha odot u oplus alpha odot v e alpha odot (u oplus v) = alpha odot (x1 + x2 + 1, , y1 + y2 - 2) = (alpha(x1 + x2 + 1) + alpha - 1, , alpha(y1 + y2 - 2) - 2alpha + 2) , e vetores = (alpha x1 + alpha x2 + alpha + alpha - 1, , alpha y1 + alpha y2 - 2alpha - 2alpha + 2) = (alpha x1 + alpha x2 + 2alpha - 1, , alpha y1 + alpha y2 - 4alpha + 2) , deve valer:
alpha odot u oplus alpha odot v = (alpha x1 + alpha - 1, , alpha y1 - 2alpha + 2) oplus (alpha x2 + alpha - 1, , alpha y2 - 2alpha + 2)
Vamos calcular ambos os lados para = ( (alpha x1 + alpha - 1) + (alpha x2 + alpha - 1) + 1, , (alpha y1 - 2alpha + 2) + (alpha y2 - 2alpha + 2) - 2 ) e = (alpha x1 + alpha x2 + 2alpha - 1, , alpha y1 + alpha y2 - 4alpha + 2) :
Lado esquerdo:
(alpha x1 + alpha x2 + 2alpha - 1, , alpha y1 + alpha y2 - 4alpha + 2) = (alpha x1 + alpha x2 + 2alpha - 1, , alpha y1 + alpha y2 - 4alpha + 2)
Simplificando:
Lado direito:
Aplicando a operação :
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os dois lados são iguais, então a distributividade está confirmada.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para quaisquer escalares (alpha + beta) odot v = alpha odot v oplus beta odot v e (alpha + beta) odot (x, y) = ((alpha + beta)x + (alpha + beta) - 1, , (alpha + beta)y - 2(alpha + beta) + 2) , e vetor = (alpha x + beta x + alpha + beta - 1, , alpha y + beta y - 2alpha - 2beta + 2) , deve valer:
alpha odot v oplus beta odot v = (alpha x + alpha - 1, , alpha y - 2alpha + 2) oplus (beta x + beta - 1, , beta y - 2beta + 2)
Vamos calcular ambos os lados para = ( (alpha x + alpha - 1) + (beta x + beta - 1) + 1, , (alpha y - 2alpha + 2) + (beta y - 2beta + 2) - 2 ) :
Lado esquerdo:
= (alpha x + beta x + alpha + beta - 1, , alpha y + beta y - 4alpha - 4beta + 2)
Simplificando:
(alpha x + beta x + alpha + beta - 1, , alpha y + beta y - 2alpha - 2beta + 2) neq (alpha x + beta x + alpha + beta - 1, , alpha y + beta y - 4alpha - 4beta + 2)
Lado direito:
Aplicando a operação :
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os componentes não são iguais, indicando que a distributividade não é satisfeita.

Resposta

Não, o conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre , pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.

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