Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
(j)
, munido das operações
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa cumprir certas propriedades (ou axiomas) como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, inversos, e distributividade, tanto para adição quanto para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a fechadura na adição. Isso significa que, ao somar dois vetores quaisquer de
usando a operação
, o resultado também deve estar em
.
Dada a operação:
Como
são números reais,
e
também são reais. Portanto, a soma está em
, então a fechadura na adição é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores
, a equação
deve valer.
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a associatividade está confirmada.
Passo 4
Vamos procurar pelo elemento neutro da adição. O elemento neutro é um vetor
tal que, para qualquer vetor
,
.
Suponha que
. Então:
Isso implica:
Portanto, o elemento neutro seria
.
Passo 5
Vamos agora verificar se para todo vetor
, existe um inverso aditivo
tal que
.
Se
, então:
Isso resulta em:
Portanto, o inverso de
seria
.
Passo 6
Vamos conferir a fechadura na multiplicação por escalar. Para qualquer escalar
e vetor
, o produto
deve também estar em
.
Dada a operação:
Como
são reais, os componentes resultantes também são reais. Assim, a fechadura na multiplicação por escalar é satisfeita.
Passo 7
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja, para quaisquer escalares
e
, e vetores
, deve valer:
Vamos calcular ambos os lados para
e
:
Lado esquerdo:
Simplificando:
Lado direito:
Aplicando a operação
:
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os dois lados são iguais, então a distributividade está confirmada.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para quaisquer escalares
e
, e vetor
, deve valer:
Vamos calcular ambos os lados para
:
Lado esquerdo:
Simplificando:
Lado direito:
Aplicando a operação
:
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os componentes
não são iguais, indicando que a distributividade não é satisfeita.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
, pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.