Verifique se em cada um dos itens o conjunto , munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre .
(j) , munido das operações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto , com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa cumprir certas propriedades (ou axiomas) como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, inversos, e distributividade, tanto para adição quanto para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a fechadura na adição. Isso significa que, ao somar dois vetores quaisquer de usando a operação , o resultado também deve estar em .
Dada a operação:
Como são números reais, e também são reais. Portanto, a soma está em , então a fechadura na adição é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores , a equação deve valer.
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a associatividade está confirmada.
Passo 4
Vamos procurar pelo elemento neutro da adição. O elemento neutro é um vetor tal que, para qualquer vetor , .
Suponha que . Então:
Isso implica:
Portanto, o elemento neutro seria .
Passo 5
Vamos agora verificar se para todo vetor , existe um inverso aditivo tal que .
Se , então:
Isso resulta em:
Portanto, o inverso de seria .
Passo 6
Vamos conferir a fechadura na multiplicação por escalar. Para qualquer escalar e vetor , o produto deve também estar em .
Dada a operação:
Como são reais, os componentes resultantes também são reais. Assim, a fechadura na multiplicação por escalar é satisfeita.
Passo 7
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja, para quaisquer escalares e , e vetores , deve valer:
Vamos calcular ambos os lados para e :
Lado esquerdo:
Simplificando:
Lado direito:
Aplicando a operação :
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os dois lados são iguais, então a distributividade está confirmada.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para quaisquer escalares e , e vetor , deve valer:
Vamos calcular ambos os lados para :
Lado esquerdo:
Simplificando:
Lado direito:
Aplicando a operação :
Simplificando:
Comparando os dois lados:
Os componentes não são iguais, indicando que a distributividade não é satisfeita.
Resposta
Não, o conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre , pois a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.