Nos problemas a seguir, estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z). O objetivo aqui é descobrir quais valores para , e fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre sistemas compatíveis, que são aqueles que têm uma solução, seja única ou infinita. Vamos precisar montar as matrizes e usar determinantes para encontrar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matrizes. A matriz dos coeficientes A = 2 & 4 & 2 3 & 8 & 5 -3 & -4 & -1 é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A' = 2 & 4 & 2 & a 3 & 8 & 5 & b -3 & -4 & -1 & c
E a matriz aumentada inclui também os termos independentes , e :
Passo 3
Para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 2 cdot (8 cdot (-1) - 5 cdot (-4)) - 4 cdot (3 cdot (-1) - 5 cdot (-3)) + 2 cdot (3 cdot (-4) - 8 cdot (-3)) não pode ser zero. Vamos calcular esse determinante:
Como o determinante , isso significa que as equações são dependentes, ou seja, podem não ter solução ou ter infinitas soluções. Para garantir que o sistema tenha solução, precisamos que o determinante ampliado também seja zero. Isso envolve as colunas dos termos independentes.
Passo 5
Vamos montar os determinantes das matrizes formadas substituindo cada coluna de det(Aa) = a & 4 & 2 b & 8 & 5 c & -4 & -1 pelos termos independentes det(Ab) = 2 & a & 2 3 & b & 5 -3 & c & -1 , det(Ac) = 2 & 4 & a 3 & 8 & b -3 & -4 & c e det(Aa) = 0, det(Ab) = 0, det(Ac) = 0 :
Para que o sistema seja compatível, todos esses determinantes também precisam ser zero:
Passo 6
Calculando cada determinante:
Para a cdot (8 cdot (-1) - 5 cdot (-4)) - 4 cdot (b cdot (-1) - 5 cdot c) + 2 cdot (b cdot (-4) - 8 cdot c) = 0 :