Nos problemas a seguir, estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
l2 x+4 y+2 z=a 3 x+8 y+5 z=b -3 x-4 y-z=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z). O objetivo aqui é descobrir quais valores para , e fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre sistemas compatíveis, que são aqueles que têm uma solução, seja única ou infinita. Vamos precisar montar as matrizes e usar determinantes para encontrar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matrizes. A matriz dos coeficientes A = 2 & 4 & 2 3 & 8 & 5 -3 & -4 & -1 é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A' = 2 & 4 & 2 & a 3 & 8 & 5 & b -3 & -4 & -1 & c
E a matriz aumentada inclui também os termos independentes , e :

Passo 3

Para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 2 cdot (8 cdot (-1) - 5 cdot (-4)) - 4 cdot (3 cdot (-1) - 5 cdot (-3)) + 2 cdot (3 cdot (-4) - 8 cdot (-3)) não pode ser zero. Vamos calcular esse determinante:
= 2 cdot (-8 + 20) - 4 cdot (-3 + 15) + 2 cdot (-12 + 24)
Calculando cada parte:
= 2 cdot 12 - 4 cdot 12 + 2 cdot 12
= 24 - 48 + 24
= 0

Passo 4

Como o determinante , isso significa que as equações são dependentes, ou seja, podem não ter solução ou ter infinitas soluções. Para garantir que o sistema tenha solução, precisamos que o determinante ampliado também seja zero. Isso envolve as colunas dos termos independentes.

Passo 5

Vamos montar os determinantes das matrizes formadas substituindo cada coluna de det(Aa) = a & 4 & 2 b & 8 & 5 c & -4 & -1 pelos termos independentes det(Ab) = 2 & a & 2 3 & b & 5 -3 & c & -1 , det(Ac) = 2 & 4 & a 3 & 8 & b -3 & -4 & c e det(Aa) = 0, det(Ab) = 0, det(Ac) = 0 :
Para que o sistema seja compatível, todos esses determinantes também precisam ser zero:

Passo 6

Calculando cada determinante:
  1. Para a cdot (8 cdot (-1) - 5 cdot (-4)) - 4 cdot (b cdot (-1) - 5 cdot c) + 2 cdot (b cdot (-4) - 8 cdot c) = 0 :
a cdot (-8 + 20) - 4 cdot (-b -5c) + 2 cdot (-4b -8c) = 0
12a + 4b + 20c - 8b -16c = 0
12a -4b +4c = 0
2 cdot (b cdot (-1) -5 cdot c) - a cdot (3 cdot (-1) -5 cdot (-3)) + 2 cdot (3 cdot c - b cdot (-3)) = 0
  1. Para 2(-b -5c) - a(-3 +15) + 2(3c +3b) = 0 :
-2b -10c +18a +6b +6c = 0
18a +4b -4c = 0
2 cdot (8 cdot c - b cdot (-4)) - 4 cdot (3 cdot c - (-3) cdot (-4)) + a cdot (3 cdot (-4) -8 cdot (-3)) = 0
2(8c +4b) -4(3c -12) +a(-12 +24) = 0
  1. Para 16c +8b -12c +48 +12a = 0 :
12a +8b +4c +48 = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de três equações para 12a -4b +4c = 0 18a +4b -4c = 0 12a +8b +4c +48 = 0 , 3a - b + c = 0 Rightarrow 3a = b - c e 9a + 2b -2c = 0 Rightarrow 9a = -2b +2c :
9a = 3 cdot (3a) = -2b +2c Rightarrow 3(b - c) = -2b +2c
Vamos simplificar as duas primeiras equações:
  1. Dividindo a primeira por 4:
3b -3c = -2b +2c Rightarrow 5b -5c =0 Rightarrow b = c
  1. Dividindo a segunda por 2:
3a = 0 Rightarrow a =0
Substituindo na segunda equa�o:
Voltando a e como , temos:

Passo 8

Agora que sabemos que 12(0) +8b +4c +48 =0 Rightarrow 8b +4c +48 =0 e 8b +4b +48 =0 Rightarrow 12b +48 =0 Rightarrow 12b = -48 Rightarrow b = -4 , vamos substituir esses valores na terceira equação:
E como b =c, c = -4
Como :

Resposta

Para que o sistema seja compatível, os termos independentes devem satisfazer:
a = 0, b = -4, c = -4

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