Nos problemas a seguir, estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z). O objetivo aqui é descobrir quais valores para , e fazem com que o sistema tenha pelo menos uma solução. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre sistemas compatíveis, que são aqueles que têm uma solução, seja única ou infinita. Vamos precisar montar as matrizes e usar determinantes para encontrar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matrizes. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
E a matriz aumentada inclui também os termos independentes , e :
Passo 3
Para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. Vamos calcular esse determinante:
Calculando cada parte:
Passo 4
Como o determinante , isso significa que as equações são dependentes, ou seja, podem não ter solução ou ter infinitas soluções. Para garantir que o sistema tenha solução, precisamos que o determinante ampliado também seja zero. Isso envolve as colunas dos termos independentes.
Passo 5
Vamos montar os determinantes das matrizes formadas substituindo cada coluna de pelos termos independentes , e :
Para que o sistema seja compatível, todos esses determinantes também precisam ser zero:
Passo 6
Calculando cada determinante:
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, temos um sistema de três equações para , e :
Vamos simplificar as duas primeiras equações:
Dividindo a primeira por 4:
Dividindo a segunda por 2:
Substituindo na segunda equa�o:
Voltando a e como , temos:
Passo 8
Agora que sabemos que e , vamos substituir esses valores na terceira equação:
Como :
Resposta
Para que o sistema seja compatível, os termos independentes devem satisfazer: