Dados os vetores u=(2,-3,-1) e v=(1,-1,4), calcular: (u+v) cdot(v-u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de vetores aqui! A gente precisa calcular o produto escalar de duas combinações de vetores. Vamos trabalhar com a matéria de álgebra vetorial, especialmente com soma, subtração de vetores e produto escalar. Para isso, vamos precisar somar e subtrair os vetores dados e depois aplicar a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores u e v. A soma de dois vetores é feita somando componente por componente. Então:
u + v = (2 + 1, -3 + (-1), -1 + 4) = (3, -4, 3)

Passo 3

Agora, vamos subtrair o vetor u do vetor v. A subtração também é feita componente por componente:
v - u = (1 - 2, -1 - (-3), 4 - (-1)) = (-1, 2, 5)

Passo 4

Com os dois vetores resultantes, agora vamos calcular o produto escalar deles. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(3, -4, 3) cdot (-1, 2, 5) = (3)(-1) + (-4)(2) + (3)(5) = -3 - 8 + 15

Resposta

Somando tudo, temos:
-3 - 8 + 15 = 4
Então, o resultado de (u+v) cdot(v-u) é 4.

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