Se as coordenadas de um corpo em movimento num plano, são dadas por
e
, onde
e
são constantes, demonstrar que a aceleração escalar é proporcional à distância entre o corpo e o eixo
. Faça o gráfico da trajetória.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos as coordenadas de um corpo em movimento no plano dadas por
e
, onde
e
são constantes. O conteúdo envolvido aqui é a cinemática, especificamente o estudo do movimento de um corpo no plano e como calcular sua aceleração. Para resolver isso, vamos precisar derivar as posições para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois mostrar que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos
e
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando
e
:
Passo 4
A aceleração total
do corpo é dada por:
A aceleração escalar
é a magnitude do vetor aceleração:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância do corpo ao eixo
. Como o eixo
é definido por
, a distância
do corpo ao eixo
é simplesmente o valor absoluto de
:
Passo 6
Observamos que a aceleração escalar
e a distância
estão relacionadas da seguinte forma:
Isso mostra que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo
, já que
.
Passo 7
Para fazer o gráfico da trajetória, plotamos
em função de
. Como
e
, podemos eliminar
da equação:
Portanto, a trajetória do corpo é uma curva senoidal no plano
, com amplitude
e período
.
Resposta
A aceleração escalar do corpo é proporcional à sua distância em relação ao eixo
, seguindo a relação
. Além disso, a trajetória do corpo é uma curva senoidal descrita por
.