Se as coordenadas de um corpo em movimento num plano, são dadas por e , onde e são constantes, demonstrar que a aceleração escalar é proporcional à distância entre o corpo e o eixo . Faça o gráfico da trajetória.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos as coordenadas de um corpo em movimento no plano dadas por e , onde e são constantes. O conteúdo envolvido aqui é a cinemática, especificamente o estudo do movimento de um corpo no plano e como calcular sua aceleração. Para resolver isso, vamos precisar derivar as posições para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois mostrar que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos e em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando e :

Passo 4

A aceleração total do corpo é dada por:
A aceleração escalar é a magnitude do vetor aceleração:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do corpo ao eixo . Como o eixo é definido por , a distância do corpo ao eixo é simplesmente o valor absoluto de :

Passo 6

Observamos que a aceleração escalar e a distância estão relacionadas da seguinte forma:
Isso mostra que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo , já que .

Passo 7

Para fazer o gráfico da trajetória, plotamos em função de . Como e , podemos eliminar da equação:
Portanto, a trajetória do corpo é uma curva senoidal no plano , com amplitude e período .

Resposta

A aceleração escalar do corpo é proporcional à sua distância em relação ao eixo , seguindo a relação . Além disso, a trajetória do corpo é uma curva senoidal descrita por .

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