Se as coordenadas de um corpo em movimento num plano, são dadas por
e
, onde
e
são constantes, demonstrar que a aceleração escalar é proporcional à distância entre o corpo e o eixo
. Faça o gráfico da trajetória.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos as coordenadas de um corpo em movimento no plano dadas por
e
, onde
e
são constantes. O conteúdo envolvido aqui é a cinemática, especificamente o estudo do movimento de um corpo no plano e como calcular sua aceleração. Para resolver isso, vamos precisar derivar as posições para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois mostrar que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos
e
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando
e
:
Passo 4
A aceleração total
do corpo é dada por:
A aceleração escalar
é a magnitude do vetor aceleração:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância do corpo ao eixo
. Como o eixo
é definido por
, a distância
do corpo ao eixo
é simplesmente o valor absoluto de
:
Passo 6
Observamos que a aceleração escalar
e a distância
estão relacionadas da seguinte forma:
Isso mostra que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo
, já que
.
Passo 7
Para fazer o gráfico da trajetória, plotamos
em função de
. Como
e
, podemos eliminar
da equação:
Portanto, a trajetória do corpo é uma curva senoidal no plano
, com amplitude
e período
.
Resposta
A aceleração escalar do corpo é proporcional à sua distância em relação ao eixo
, seguindo a relação
. Além disso, a trajetória do corpo é uma curva senoidal descrita por
.
Exercícios relacionados
Uma menina lança uma bola em direção a uma parede vertical, afastada a 4 m de distância. A bola está 2 metros do solo quando deixa as mãos da meninda à velocidade
. Quando a bola atinge a parede, a sua velocidade horizontal é invertida, enquanto a sua velocidade vertical permanece inalterada. Onde a bola atinge o solo?
Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. Em
, sua aceleração é
. Qual o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período?
Qual é o calor necessário para fazer a temperatura de
de um gás ideal aumentar 50 K nas vizinhanças da temperatura ambiente se
gás for mantido com um volume constante e for (a) diatômico; (b) monoatômico?
Temos duas caixas de mesmo tamanho,
e
. Cada caixa contém um gás que se comporta como um gás ideal. Inserimos um termômetro em cada uma das caixas e descobrimos que o gás na caixa
está a uma temperatura de
, enquanto o gás na caixa
está a
. Isso é tudo o que sabemos sobre os gases nas caixas. Quais das seguintes afirmativas precisam ser verdadeiras? Quais delas podem ser verdadeiras? Explique. (a) A pressão em
é maior que em
. (b) Há mais moléculas em
que em
. ©
e
não contêm o mesmo tipo de gás. (d) As moléculas em
possuem maior energia cinética média por molécula que as de
. (e) As moléculas em
estão se movendo mais rápido que as de
.