Se as coordenadas de um corpo em movimento num plano, são dadas por x=b t e y=c sen(b t), onde b e c são constantes, demonstrar que a aceleração escalar é proporcional à distância entre o corpo e o eixo x. Faça o gráfico da trajetória.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos as coordenadas de um corpo em movimento no plano dadas por e , onde e são constantes. O conteúdo envolvido aqui é a cinemática, especificamente o estudo do movimento de um corpo no plano e como calcular sua aceleração. Para resolver isso, vamos precisar derivar as posições para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois mostrar que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos vx = dxdt = b e vy = dydt = c b cos(b t) em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do corpo, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando ax = dvxdt = 0 e ay = dvydt = -c b^2 sin(b t) :

Passo 4

A aceleração total a = ax i + ay j = 0 i - c b^2 sin(b t) j do corpo é dada por:
a = raizax^2 + ay^2 = raiz0 + (-c b^2 sin(b t))^2 = c b^2 |sin(b t)|
A aceleração escalar é a magnitude do vetor aceleração:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do corpo ao eixo d = |y(t)| = |c sin(b t)| = c |sin(b t)| . Como o eixo é definido por , a distância do corpo ao eixo é simplesmente o valor absoluto de :

Passo 6

Observamos que a aceleração escalar a = c b^2 |sin(b t)| = b^2 d e a distância estão relacionadas da seguinte forma:
Isso mostra que a aceleração escalar é proporcional à distância do corpo em relação ao eixo , já que .

Passo 7

Para fazer o gráfico da trajetória, plotamos t = xb em função de y = c sin(b cdot xb) = c sin(x) . Como e , podemos eliminar da equação:
Portanto, a trajetória do corpo é uma curva senoidal no plano , com amplitude e período .

Resposta

A aceleração escalar do corpo é proporcional à sua distância em relação ao eixo , seguindo a relação . Além disso, a trajetória do corpo é uma curva senoidal descrita por .

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