Em t1=2 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é (6 i+4 j) m / s^2. Em t2=5 s, sua aceleração é (4 i-6 j) m / s^2. Qual o raio da trajetória da partícula se a diferença t2-t1 é menor que um período?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, ela está percorrendo uma trajetória circular com velocidade constante. O enunciado nos dá as acelerações da partícula em dois instantes diferentes: em e em . Nosso objetivo é encontrar o raio da trajetória dessa partícula, sabendo que a diferença de tempo entre os dois instantes é menor que um período completo do movimento circular.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cinemática circular, como a aceleração centrípeta e o período do movimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude das acelerações nos dois instantes. A aceleração é dada por vetores:
  • Em |a| = raizax^2 + ay^2 : |a1| = raiz6^2 + 4^2 = raiz36 + 16 = raiz52 approx 7,21 , m/s^2
  • Em |a2| = raiz4^2 + (-6)^2 = raiz16 + 36 = raiz52 approx 7,21 , m/s^2 :
A magnitude de um vetor é calculada por:
Calculando as magnitudes:
Notamos que as magnitudes são iguais, o que confirma que estamos lidando com um movimento circular uniforme onde a aceleração centrípeta mantém o módulo constante.

Passo 3

Em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta é responsável por manter a partícula na trajetória circular e é dada por:
ac = v^2r = omega^2 r
Onde:
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da trajetória,
  • é a velocidade angular.
Como conhecemos e queremos encontrar , precisamos relacionar esses valores.

Passo 4

Vamos encontrar o ângulo entre as duas acelerações. Isso nos ajudará a determinar quanto a partícula se moveu entre os dois instantes de tempo.
Para encontrar o ângulo a1 cdot a2 = |a1||a2|cos(theta) entre os vetores a1 cdot a2 = (6)(4) + (4)(-6) = 24 - 24 = 0 e 0 = (7,21)(7,21)cos(theta) implies cos(theta) = 0 implies theta = 90^circ , usamos o produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Então:
Isso significa que a partícula se moveu um quarteirão da trajetória circular entre e .

Passo 5

Sabemos que a partícula se moveu um ângulo de theta = omega De (ou pi2 = omega cdot 3 implies omega = pi6 , rad/s radianos) em um intervalo de tempo de .
A relação entre a velocidade angular , o ângulo percorrido e o tempo é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, usamos a relação da aceleração centrípeta para encontrar o raio ac = omega^2 r :
r = acomega^2
Isolando r = 7,21(pi6)^2 = 7,21pi^236 = 7,21 cdot 36pi^2 approx 7,21 cdot 369,87 approx 7,21 cdot 3,65 approx 26,27 , m :
Substituindo os valores:

Resposta

O raio da trajetória da partícula é aproximadamente .

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