Em , a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é . Em , sua aceleração é . Qual o raio da trajetória da partícula se a diferença é menor que um período?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, ela está percorrendo uma trajetória circular com velocidade constante. O enunciado nos dá as acelerações da partícula em dois instantes diferentes: em e em . Nosso objetivo é encontrar o raio da trajetória dessa partícula, sabendo que a diferença de tempo entre os dois instantes é menor que um período completo do movimento circular.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cinemática circular, como a aceleração centrípeta e o período do movimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude das acelerações nos dois instantes. A aceleração é dada por vetores:
  • Em :
  • Em :
A magnitude de um vetor é calculada por:
Calculando as magnitudes:
Notamos que as magnitudes são iguais, o que confirma que estamos lidando com um movimento circular uniforme onde a aceleração centrípeta mantém o módulo constante.

Passo 3

Em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta é responsável por manter a partícula na trajetória circular e é dada por:
Onde:
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da trajetória,
  • é a velocidade angular.
Como conhecemos e queremos encontrar , precisamos relacionar esses valores.

Passo 4

Vamos encontrar o ângulo entre as duas acelerações. Isso nos ajudará a determinar quanto a partícula se moveu entre os dois instantes de tempo.
Para encontrar o ângulo entre os vetores e , usamos o produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Então:
Isso significa que a partícula se moveu um quarteirão da trajetória circular entre e .

Passo 5

Sabemos que a partícula se moveu um ângulo de (ou radianos) em um intervalo de tempo de .
A relação entre a velocidade angular , o ângulo percorrido e o tempo é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, usamos a relação da aceleração centrípeta para encontrar o raio :
Isolando :
Substituindo os valores:

Resposta

O raio da trajetória da partícula é aproximadamente .

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