Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. Em
, sua aceleração é
. Qual o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período?
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo em um movimento circular uniforme, ou seja, ela está percorrendo uma trajetória circular com velocidade constante. O enunciado nos dá as acelerações da partícula em dois instantes diferentes: em
e em
. Nosso objetivo é encontrar o raio da trajetória dessa partícula, sabendo que a diferença de tempo entre os dois instantes é menor que um período completo do movimento circular.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cinemática circular, como a aceleração centrípeta e o período do movimento. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a magnitude das acelerações nos dois instantes. A aceleração é dada por vetores:
- Em
: - Em
:
A magnitude de um vetor
é calculada por:
Calculando as magnitudes:
Notamos que as magnitudes são iguais, o que confirma que estamos lidando com um movimento circular uniforme onde a aceleração centrípeta mantém o módulo constante.
Passo 3
Em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta é responsável por manter a partícula na trajetória circular e é dada por:
Onde:
-
é a velocidade tangencial, -
é o raio da trajetória, -
é a velocidade angular.
Como conhecemos
e queremos encontrar
, precisamos relacionar esses valores.
Passo 4
Vamos encontrar o ângulo entre as duas acelerações. Isso nos ajudará a determinar quanto a partícula se moveu entre os dois instantes de tempo.
Para encontrar o ângulo
entre os vetores
e
, usamos o produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Então:
Isso significa que a partícula se moveu um quarteirão da trajetória circular entre
e
.
Passo 5
Sabemos que a partícula se moveu um ângulo de
(ou
radianos) em um intervalo de tempo de
.
A relação entre a velocidade angular
, o ângulo percorrido
e o tempo
é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, usamos a relação da aceleração centrípeta para encontrar o raio
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
O raio da trajetória da partícula é aproximadamente
.
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, tal que a aceleração vem dado por
, onde
e
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e
, determinar (a) a equação da trajetoria e (b) a velocidade escalar para
.
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e
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e
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