Nas coordenadas esféricas (r, theta, phi) determinar rot A, div A, onde A = e_theta * beta * r + e_phi * gamma * r^2, beta, gamma são constantes. Computar o fluxo do campo vetorial A por uma superfície de esfera de raio R e com o seu centro na origem e a circulação do campo vetorial A por uma circunferência de raio R e com o seu centro na origem que é localizada no plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o rotacional ( ) e a divergente ( ) de um campo vetorial dado nas coordenadas esféricas , onde . Além disso, precisamos calcular o fluxo desse campo através de uma esfera de raio centrada na origem e a circulação desse campo por uma circunferência no plano com raio .
Vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e da divergente em coordenadas esféricas, além das definições de fluxo e circulação de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o rotacional em coordenadas esféricas é:
No nosso caso, , ou seja, , , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional separadamente.
Para a componente :
Como não depende de e não depende de , temos:
Então, a componente fica:

Passo 4

Para a componente :
Sabemos que , então . Agora, calculamos:
Portanto, a componente fica:

Passo 5

Para a componente :
Como , . Agora, calculamos:
Portanto, a componente fica:

Passo 6

Agora, juntando todas as componentes, o rotacional de é:

Passo 7

Vamos agora calcular a divergente de em coordenadas esféricas. A fórmula para a divergente é:
No nosso caso, , então a primeira e a última parcelas serão zero (pois não depende de ).

Passo 8

Calculando a segunda parcela:

Passo 9

Portanto, a divergente de é:

Passo 10

Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície de esfera de raio . O fluxo é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio , e .

Passo 11

Sabemos que . O produto escalar é:
Isso porque não tem componente na direção .

Passo 12

Portanto, o fluxo é:

Passo 13

Finalmente, vamos calcular a circulação do campo vetorial por uma circunferência de raio no plano . A circulação é dada por:
No plano , e .

Passo 14

Substituindo e :

Passo 15

Integrando de a :

Resposta

Fluxo da pela esfera de raio é e a circulação da pela circunferência no plano é .

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