Nas coordenadas esféricas
determinar
,
, onde
são constantes. Computar o fluxo do campo vetorial
por uma superfície de esfera de raio
e com o seu centro na origem e a circulação do campo vetorial
por uma circunferência de raio
e com o seu centro na origem que é localizada no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o rotacional (
) e a divergente (
) de um campo vetorial
dado nas coordenadas esféricas
, onde
. Além disso, precisamos calcular o fluxo desse campo através de uma esfera de raio
centrada na origem e a circulação desse campo por uma circunferência no plano
com raio
.
Vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e da divergente em coordenadas esféricas, além das definições de fluxo e circulação de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o rotacional em coordenadas esféricas
é:
No nosso caso,
, ou seja,
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional separadamente.
Para a componente
:
Como
não depende de
e
não depende de
, temos:
Então, a componente
fica:
Passo 4
Para a componente
:
Sabemos que
, então
. Agora, calculamos:
Portanto, a componente
fica:
Passo 5
Para a componente
:
Como
,
. Agora, calculamos:
Portanto, a componente
fica:
Passo 6
Agora, juntando todas as componentes, o rotacional de
é:
Passo 7
Vamos agora calcular a divergente de
em coordenadas esféricas. A fórmula para a divergente é:
No nosso caso,
, então a primeira e a última parcelas serão zero (pois
não depende de
).
Passo 8
Calculando a segunda parcela:
Passo 9
Portanto, a divergente de
é:
Passo 10
Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície de esfera de raio
. O fluxo é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio
,
e
.
Passo 11
Sabemos que
. O produto escalar
é:
Isso porque
não tem componente na direção
.
Passo 12
Portanto, o fluxo
é:
Passo 13
Finalmente, vamos calcular a circulação do campo vetorial
por uma circunferência de raio
no plano
. A circulação é dada por:
No plano
,
e
.
Passo 14
Substituindo
e
:
Passo 15
Integrando de
a
:
Resposta
Fluxo da
pela esfera de raio
é
e a circulação da
pela circunferência no plano
é
.
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