Let D be the region bounded below by the plane z = 0, above by the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 4, and on the sides by the cylinder x^2 + y^2 = 1. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of D using the following orders of integration.
d theta d z d r

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região limitada abaixo pelo plano , acima pela esfera e pelos lados pelo cilindro . O objetivo é configurar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dessa região, usando a ordem de integração . Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas, como expressar as superfícies dadas nessas coordenadas e determinar os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera fica:
Já o cilindro é dado por:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável na ordem .
  1. Para : Como a região é simétrica em torno do eixo e não há restrições adicionais, varia de a .
  2. Para : varia do plano até a superfície superior da esfera, que é .
  3. Para : O raio varia do centro até a lateral do cilindro, ou seja, de a .

Passo 4

Vamos agora montar a integral tripla com os limites que encontramos. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, a integral fica:

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa o volume de na ordem é:

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