Let
be the region bounded below by the plane
, above by the sphere
, and on the sides by the cylinder
. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of
using the following orders of integration.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região
limitada abaixo pelo plano
, acima pela esfera
e pelos lados pelo cilindro
. O objetivo é configurar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dessa região, usando a ordem de integração
. Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas, como expressar as superfícies dadas nessas coordenadas e determinar os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera fica:
Já o cilindro é dado por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável na ordem
.
-
Para
: Como a região é simétrica em torno do eixo e não há restrições adicionais, varia de a . -
Para
: varia do plano até a superfície superior da esfera, que é . -
Para
: O raio varia do centro até a lateral do cilindro, ou seja, de a .
Passo 4
Vamos agora montar a integral tripla com os limites que encontramos. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por
. Então, a integral fica:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa o volume de
na ordem
é:
Exercícios relacionados
Nas coordenadas esféricas
determinar
,
, onde
são constantes. Computar o fluxo do campo vetorial
por uma superfície de esfera de raio
e com o seu centro na origem e a circulação do campo vetorial
por uma circunferência de raio
e com o seu centro na origem que é localizada no plano
.
Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid
, on the bottom by the plane
, and on the sides by the cylinder
. Find the center of mass and the moment of inertia about the
-axis if the density is
.
Encontrar os zeros da função
e determinar as suas ordens para: b)
.
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: b)
;