Encontrar os zeros da função
e determinar as suas ordens para: b)
.
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos encontrar os seus zeros, ou seja, os valores de
que fazem
. Além disso, queremos saber a ordem de cada zero encontrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e analisar onde a função se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função
pode ser igual a zero. A função será zero quando o numerador for zero, desde que o denominador não seja zero ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos resolver:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Portanto, os zeros da função
ocorrem nesses pontos. Como temos
, cada zero de
será um zero de ordem 2 para
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o denominador da função
. O denominador é zero quando
. Precisamos analisar o que acontece nesse ponto.
Calculando o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que
quando
é próximo de zero. Portanto:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto,
é um zero da função
.
Passo 4
Vamos resumir os zeros encontrados:
-
Zeros provenientes de
: - Ocorrência em
, onde é um inteiro. - Cada zero tem ordem 2 devido ao exponencial quadrado.
- Ocorrência em
-
Zero em
: - Analisamos o comportamento e vimos que
também é um zero da função de ordem 1.
- Analisamos o comportamento e vimos que
Resposta
Os zeros da função
são:
-
com ordem 1. -
para todo inteiro , cada um com ordem 2.