Encontrar os zeros da função f(z) e determinar as suas ordens para: b) f(z) = sinh^2(z) / z.

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar os seus zeros, ou seja, os valores de que fazem . Além disso, queremos saber a ordem de cada zero encontrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e analisar onde a função se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função pode ser igual a zero. A função será zero quando o numerador for zero, desde que o denominador não seja zero ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos resolver:
Sabemos que quando , onde é um inteiro. Portanto, os zeros da função ocorrem nesses pontos. Como temos , cada zero de será um zero de ordem 2 para .

Passo 3

Agora, vamos considerar o denominador da função . O denominador é zero quando . Precisamos analisar o que acontece nesse ponto.
Calculando o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que quando é próximo de zero. Portanto:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, é um zero da função .

Passo 4

Vamos resumir os zeros encontrados:
  1. Zeros provenientes de :
    • Ocorrência em , onde é um inteiro.
    • Cada zero tem ordem 2 devido ao exponencial quadrado.
  2. Zero em :
    • Analisamos o comportamento e vimos que também é um zero da função de ordem 1.

Resposta

Os zeros da função são:
  • com ordem 1.
  • para todo inteiro , cada um com ordem 2.

Exercícios relacionados

Let D be the region bounded below by the plane z = 0, above by the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 4, and on the sides by the cylinder x^2 + y^2 = 1. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of D using the following orders of integration.
d theta d z d r
Nas coordenadas esféricas (r, theta, phi) determinar rot A, div A, onde A = e_theta * beta * r + e_phi * gamma * r^2, beta, gamma são constantes. Computar o fluxo do campo vetorial A por uma superfície de esfera de raio R e com o seu centro na origem e a circulação do campo vetorial A por uma circunferência de raio R e com o seu centro na origem que é localizada no plano x y.
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: b) f(z) = 1 / (cos(z) - 1 + z^2 / 2);
Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função f(z) para: b) f(z) = e^z / (z^3 * (z - 1));