Dado um espaço vetorial
e dois subespaços vetoriais
e
de
, definimos o conjunto
como sendo o conjunto formado por todos os elementos da forma
, sendo
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
. No caso em que
(elemento neutro da adição em
), então dizemos que a soma de
com
é uma soma direta desses subespaços e a denotamos por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais e subespaços. A gente tem um espaço vetorial
e dois subespaços dele,
e
. Queremos mostrar que o conjunto
, que é todo mundo que pode ser escrito como
onde
está em
e
está em
, também é um subespaço de
. Além disso, se a interseção de
e
é apenas o vetor zero, a gente chama essa soma de direta, denotada por
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaços vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que
é um subespaço de
, a gente precisa verificar três propriedades fundamentais dos subespaços:
- Contém o vetor zero: Todo subespaço precisa ter o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos de
, a soma deles também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um elemento de
e multiplicar por um escalar, o resultado também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Sabemos que
e
são subespaços de
, então ambos contêm o vetor zero de
. Ou seja,
e
.
Então, se a gente soma
de
com
de
:
Isso mostra que o vetor zero está em
, já que
pertence a
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
. Suponha que temos
e
, onde
e
.
Agora, somando
e
:
Como
é um subespaço, a soma
está em
. Da mesma forma,
está em
.
Portanto,
também está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um elemento
em
, onde
e
, e um escalar
.
Multiplicando
por
:
Como
é um subespaço,
está em
. E
está em
porque
também é um subespaço.
Assim,
está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão das propriedades:
Como verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Soma direta (
):
Agora, vamos considerar o caso especial onde a interseção de
e
é apenas o vetor zero, ou seja,
.
Nesse caso, se tivermos
igual a zero, isso implica que
. Mas como
está em
e
está em
, e a única solução para isso é
, isso significa que cada elemento de
pode ser escrito de maneira única como a soma de um elemento de
e um de
.
Por isso, dizemos que a soma é direta e escrevemos
.
Resposta
Assim, mostramos que
é um subespaço vetorial de
. Além disso, quando
, a soma é direta, denotada por
.