Dado um espaço vetorial V e dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V, definimos o conjunto S=S1+S2 como sendo o conjunto formado por todos os elementos da forma x+y, sendo x in S1 e y in S2. Mostre que S é um subespaço vetorial de V. No caso em que S1 cap S2=0 (elemento neutro da adição em V ), então dizemos que a soma de S1 com S2 é uma soma direta desses subespaços e a denotamos por S1 oplus S2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais e subespaços. A gente tem um espaço vetorial e dois subespaços dele, e . Queremos mostrar que o conjunto , que é todo mundo que pode ser escrito como onde está em e está em , também é um subespaço de . Além disso, se a interseção de e é apenas o vetor zero, a gente chama essa soma de direta, denotada por . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaços vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que é um subespaço de , a gente precisa verificar três propriedades fundamentais dos subespaços:
  1. Contém o vetor zero: Todo subespaço precisa ter o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos de , a soma deles também precisa estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um elemento de e multiplicar por um escalar, o resultado também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Sabemos que 0 + 0 = 0 e são subespaços de , então ambos contêm o vetor zero de . Ou seja, e .
Então, se a gente soma de com de :
Isso mostra que o vetor zero está em , já que pertence a .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de a + b = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) . Suponha que temos e , onde e .
Agora, somando e :
Como é um subespaço, a soma está em . Da mesma forma, está em .
Portanto, também está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um elemento c cdot a = c cdot (x + y) = c cdot x + c cdot y em , onde e , e um escalar .
Multiplicando por :
Como é um subespaço, está em . E está em porque também é um subespaço.
Assim, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão das propriedades:
Como verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 7

Soma direta ( ):
Agora, vamos considerar o caso especial onde a interseção de e é apenas o vetor zero, ou seja, .
Nesse caso, se tivermos igual a zero, isso implica que . Mas como está em e está em , e a única solução para isso é , isso significa que cada elemento de pode ser escrito de maneira única como a soma de um elemento de e um de .
Por isso, dizemos que a soma é direta e escrevemos .

Resposta

Assim, mostramos que é um subespaço vetorial de . Além disso, quando , a soma é direta, denotada por .

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