Dados os números reais a1, a2, ldots, an, c, o conjunto de vetores x=(x1, x2, ldots, xn) in R^n tais que a1 x1+a2 x2+ldots+an xn=c, é um subespaço vetorial de R^n ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou se o conjunto de vetores que satisfazem a equação é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o nosso conjunto atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor onde todos os componentes são zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso conjunto.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a equação .
Isso simplifica para .
Para o vetor zero pertencer ao conjunto, essa igualdade precisa ser verdadeira. Ou seja, deve ser igual a zero.

Passo 4

2. Fechado para adição:
Vamos supor que temos dois vetores a1x1 + a2x2 + ldots + anxn = c e a1y1 + a2y2 + ldots + anyn = c que pertencem ao conjunto. Isso significa que:
(a1x1 + a2x2 + ldots + anxn) + (a1y1 + a2y2 + ldots + anyn) = c + c = 2c
Vamos somar esses dois resultados:
Então, para que a soma esteja no conjunto, precisamos que , o que só é verdade se .

Passo 5

3. Fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor a1(kx1) + a2(kx2) + ldots + an(kxn) = k(a1x1 + a2x2 + ldots + anxn) = kc no conjunto e multiplicá-lo por um escalar . A equação fica:
Para que esteja no conjunto, precisamos que . Isso só acontece se ou . Como pode ser qualquer número real, a única maneira de isso ser verdade para todos os é que .

Resposta

Então, o conjunto de vetores que satisfazem é um subespaço vetorial de se e somente se . Se for diferente de zero, o conjunto não atende às propriedades necessárias para ser um subespaço.

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