Dados os números reais
, o conjunto de vetores
tais que
, é um subespaço vetorial de
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou se o conjunto de vetores
que satisfazem a equação
é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o nosso conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor onde todos os componentes são zero deve pertencer ao conjunto.
- Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso conjunto.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é
. Vamos ver se ele satisfaz a equação
.
O vetor zero em
Isso simplifica para
.
Para o vetor zero pertencer ao conjunto, essa igualdade precisa ser verdadeira. Ou seja,
deve ser igual a zero.
Passo 4
2. Fechado para adição:
Vamos supor que temos dois vetores e
que pertencem ao conjunto. Isso significa que:
Vamos supor que temos dois vetores
Vamos somar esses dois resultados:
Então, para que a soma
esteja no conjunto, precisamos que
, o que só é verdade se
.
Passo 5
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor no conjunto e multiplicá-lo por um escalar
. A equação fica:
Vamos pegar um vetor
Para que
esteja no conjunto, precisamos que
. Isso só acontece se
ou
. Como
pode ser qualquer número real, a única maneira de isso ser verdade para todos os
é que
.
Resposta
Então, o conjunto de vetores
que satisfazem
é um subespaço vetorial de
se e somente se
. Se
for diferente de zero, o conjunto não atende às propriedades necessárias para ser um subespaço.