As coordenadas de uma partícula móvel são dadas por x=t^2, y=(t-1)^2. Calcular a velocidade média e a aceleração média da partícula no intervalo de tempo entre t e t+De. Aplicar os resultados ao caso em que t=2 s e De, e comparar com os valôres da velocidade e da aceleração no instante t=2 s. Representar gràficamente todos os vetores em questão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as coordenadas de uma partícula em movimento dadas por e . O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente velocidade e aceleração médias. Vamos precisar entender como calcular a velocidade média e a aceleração média em um intervalo de tempo, além de comparar com os valores instantâneos nesses mesmos pontos. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média da partícula no intervalo entre vm = r(t + De e . A velocidade média é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Como estamos trabalhando em duas dimensões (x e y), vamos calcular as componentes da velocidade média para cada direção.
A fórmula geral para a velocidade média é:
onde .

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula nos instantes x(2) = 2^2 = 4 s e y(2) = (2-1)^2 = 1 s.
Para x(3) = 3^2 = 9 s:
y(3) = (3-1)^2 = 4
Então, .
Para s:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade média usando a fórmula mencionada:
vm = r(3) - r(2)3 - 2 = (9, 4) - (4, 1)1 = (5, 3) , m/s
Então, a velocidade média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Para calcular isso, precisamos primeiro encontrar as velocidades nos instantes v(t) = ( dxdt, dydt ) = (2t, 2(t-1)) s e v(2) = (2 times 2, 2(2-1)) = (4, 2) , m/s s.
Vamos usar a derivada da posição para encontrar a velocidade instantânea em qualquer tempo v(3) = (2 times 3, 2(3-1)) = (6, 4) , m/s .
A posição é am = v(3) - v(2)3 - 2 = (6, 4) - (4, 2)1 = (2, 2) , m/s^2 , então a velocidade instantânea é a derivada de em relação a :
Para s:
Para s:
Agora, a aceleração média é:
Então, a aceleração média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea e a aceleração instantânea no instante v(2) = (4, 2) , m/s s.
Já calculamos a velocidade instantânea em a(t) = ( d(2t)dt, d(2(t-1))dt ) = (2, 2) s:
Para a aceleração instantânea, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo.
A velocidade é , então a aceleração instantânea é:
Portanto, a aceleração instantânea em s é .

Passo 7

Vamos comparar os valores médios com os instantâneos no instante s.
  • Velocidade Média no intervalo de 2 a 3 s:
  • Velocidade Instantânea em 2 s:
Observamos que a velocidade média é diferente da velocidade instantânea nesse ponto específico.
  • Aceleração Média no intervalo de 2 a 3 s:
  • Aceleração Instantânea em 2 s:
Neste caso, a aceleração média é igual à aceleração instantânea em s.

Passo 8

Por fim, para representar graficamente os vetores de velocidade e aceleração:
  • Velocidade Média: Um vetor de começando na posição .
  • Velocidade Instantânea: Um vetor de também começando na posição .
  • Aceleração Média e Instantânea: Ambos os vetores são e começam na mesma posição.
Esses vetores podem ser desenhados em um gráfico de coordenadas, partindo do ponto e apontando nas direções e magnitudes correspondentes aos seus componentes.

Resposta

A velocidade média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é e a aceleração média é . A velocidade instantânea em 2 segundos é e a aceleração instantânea é . Aceleração média e instantânea são iguais nesse ponto, enquanto as velocidades média e instantânea são diferentes.

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