As coordenadas de uma partícula móvel são dadas por
. Calcular a velocidade média e a aceleração média da partícula no intervalo de tempo entre
e
. Aplicar os resultados ao caso em que
e
, e comparar com os valôres da velocidade e da aceleração no instante
. Representar gràficamente todos os vetores em questão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as coordenadas de uma partícula em movimento dadas por
e
. O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente velocidade e aceleração médias. Vamos precisar entender como calcular a velocidade média e a aceleração média em um intervalo de tempo, além de comparar com os valores instantâneos nesses mesmos pontos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média da partícula no intervalo entre
e
. A velocidade média é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Como estamos trabalhando em duas dimensões (x e y), vamos calcular as componentes da velocidade média para cada direção.
A fórmula geral para a velocidade média
é:
onde
.
Passo 3
Vamos calcular a posição da partícula nos instantes
s e
s.
Para
s:
Então,
.
Para
s:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade média usando a fórmula mencionada:
Então, a velocidade média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Para calcular isso, precisamos primeiro encontrar as velocidades nos instantes
s e
s.
Vamos usar a derivada da posição para encontrar a velocidade instantânea em qualquer tempo
.
A posição é
, então a velocidade instantânea
é a derivada de
em relação a
:
Para
s:
Para
s:
Agora, a aceleração média
é:
Então, a aceleração média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea e a aceleração instantânea no instante
s.
Já calculamos a velocidade instantânea em
s:
Para a aceleração instantânea, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo.
A velocidade é
, então a aceleração instantânea
é:
Portanto, a aceleração instantânea em
s é
.
Passo 7
Vamos comparar os valores médios com os instantâneos no instante
s.
- Velocidade Média no intervalo de 2 a 3 s:
- Velocidade Instantânea em 2 s:
Observamos que a velocidade média é diferente da velocidade instantânea nesse ponto específico.
- Aceleração Média no intervalo de 2 a 3 s:
- Aceleração Instantânea em 2 s:
Neste caso, a aceleração média é igual à aceleração instantânea em
s.
Passo 8
Por fim, para representar graficamente os vetores de velocidade e aceleração:
- Velocidade Média: Um vetor de
começando na posição . - Velocidade Instantânea: Um vetor de
também começando na posição . - Aceleração Média e Instantânea: Ambos os vetores são
e começam na mesma posição.
Esses vetores podem ser desenhados em um gráfico de coordenadas, partindo do ponto
e apontando nas direções e magnitudes correspondentes aos seus componentes.
Resposta
A velocidade média da partícula no intervalo de 2 a 3 segundos é
e a aceleração média é
. A velocidade instantânea em 2 segundos é
e a aceleração instantânea é
. Aceleração média e instantânea são iguais nesse ponto, enquanto as velocidades média e instantânea são diferentes.