Um ponto move-se com velocidade constante de 3 pés cdot s^-1. A direção da velocidade faz um ângulo de (pi / 2) t rad com sentido positivo do eixo O X. Se x=y=0 quando t=0, obter a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um ponto que se move com velocidade constante de 3 pés por segundo. A direção dessa velocidade está mudando com o tempo, fazendo um ângulo de radianos com o eixo positivo . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória desse ponto, ou seja, descobrir como as coordenadas e do ponto se relacionam conforme o tempo passa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e cálculo, especificamente a decomposição vetorial da velocidade e integração para obter as posições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a velocidade do ponto se comporta. A velocidade tem uma magnitude constante de 3 pés por segundo, mas a direção está mudando com o tempo. O ângulo da velocidade em relação ao eixo vx(t) = 3 cdot cos(pi2 t) é dado por vy(t) = 3 cdot sin(pi2 t) . Para encontrar as componentes e da velocidade, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as posições x(t) = integral vx(t) , dt = integral 3 cdot cos(pi2 t) dt e y(t) = integral vy(t) , dt = integral 3 cdot sin(pi2 t) dt ao longo do tempo. Para isso, integramos as componentes da velocidade em relação ao tempo, já que a posição é a integral da velocidade:

Passo 4

Vamos calcular essas integrais:
Para x(t) = 3pi2 cdot sin(pi2 t) + Cx = 6pi sin(pi2 t) + Cx :
y(t) = -3pi2 cdot cos(pi2 t) + Cy = -6pi cos(pi2 t) + Cy
Para :

Passo 5

Sabemos que no tempo inicial 0 = 6pi sin(0) + Cx Rightarrow Cx = 0 , as coordenadas são 0 = -6pi cos(0) + Cy Rightarrow Cy = 6pi e . Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração e :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, substituímos as constantes encontradas nas expressões de x(t) = 6pi sin(pi2 t) e y(t) = -6pi cos(pi2 t) + 6pi :
y(t) = 6pi (1 - cos(pi2 t))
Simplificando :

Passo 7

Agora, queremos eliminar o parâmetro x(t) = 6pi sin(pi2 t) Rightarrow sin(pi2 t) = pi x6 para obter uma relação direta entre cos(pi2 t) = raiz1 - (pi x6)^2 e y = 6pi (1 - raiz1 - (pi x6)^2) . Observando a expressão de :
Usando a identidade trigonométrica , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na equação de :

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:
y = 6pi (1 - raiz1 - (pi x6)^2)

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