Um ponto move-se com velocidade constante de 3 pés
. A direção da velocidade faz um ângulo de
rad com sentido positivo do eixo
. Se
quando
, obter a equação da trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um ponto que se move com velocidade constante de 3 pés por segundo. A direção dessa velocidade está mudando com o tempo, fazendo um ângulo de
radianos com o eixo positivo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória desse ponto, ou seja, descobrir como as coordenadas
e
do ponto se relacionam conforme o tempo passa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e cálculo, especificamente a decomposição vetorial da velocidade e integração para obter as posições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a velocidade do ponto se comporta. A velocidade tem uma magnitude constante de 3 pés por segundo, mas a direção está mudando com o tempo. O ângulo da velocidade em relação ao eixo
é dado por
. Para encontrar as componentes
e
da velocidade, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as posições
e
ao longo do tempo. Para isso, integramos as componentes da velocidade em relação ao tempo, já que a posição é a integral da velocidade:
Passo 4
Vamos calcular essas integrais:
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que no tempo inicial
, as coordenadas são
e
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, substituímos as constantes encontradas nas expressões de
e
:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, queremos eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre
e
. Observando a expressão de
:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na equação de
:
Resposta
A equação da trajetória da partícula é: