Um jogador de baseball dá uma tacada imprimindo à bola uma velocidade de 48 pés cdot s^-1 que forma, com a horizontal, um ângulo de 30^circ para cima. Um segundo jogador, distanciado 100 pés do primeiro e no mesmo plano da trajetória da bola, começa a correr no instante da tacada. Sabendo-se que o segundo jogador é capaz de alcançar uma bola até a altura de 8 pés acima do solo, e que, no instante da tacada, a bola estava a 3 pés de altura, calcular a velocidade mínima que deve ter o jogador para pegar a bola. Qual a distância que o segundo jogador tem de correr?

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão pede. Temos um jogador de baseball que rebate uma bola com velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. Um segundo jogador está a 100 pés de distância e começa a correr no momento da tacada. Queremos descobrir qual é a velocidade mínima que esse segundo jogador precisa ter para pegar a bola quando ela estiver a 8 pés de altura, considerando que a bola já está a 3 pés do chão no momento da tacada.
Conteúdo da matéria: Movimento de projéteis na física, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e usar equações de movimento uniforme e uniformemente variado.
O que vamos precisar:
  • Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
  • Usar as equações de movimento para determinar o tempo que a bola leva para ir de 3 pés a 8 pés de altura.
  • Calcular a distância horizontal percorrida pela bola nesse tempo.
  • Determinar a distância que o segundo jogador precisa correr e a velocidade mínima necessária para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal ( vx = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( vy = v0 cdot sin(theta) ).
A velocidade inicial vx = 48 cdot cos(30^circ) = 48 cdot raiz32 approx 48 cdot 0.8660 approx 41.57 , ft/s e o ângulo vy = 48 cdot sin(30^circ) = 48 cdot 0.5 = 24 , ft/s .
Usamos as fórmulas:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical da bola. Queremos saber em quanto tempo a bola passa de 3 pés para 8 pés de altura.
Usamos a equação da posição vertical:
y(t) = y0 + vy cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • 8 = 3 + 24t - 16t^2 é a altura da bola no tempo 16t^2 - 24t + 5 = 0 ,
  • é a altura inicial,
  • é a aceleração devido à gravidade.
Queremos que , então:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática t = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar De.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
raizDe
Onde t = 24 pm 1632 , t1 = 24 + 1632 = 4032 = 1.25 , s , t2 = 24 - 1632 = 832 = 0.25 , s .
Calculando o discriminante:
Então:
Temos duas soluções:
Como estamos interessados no momento em que a bola está subindo até 8 pés, consideramos .

Passo 5

Agora que temos o tempo x(t) = vx cdot t , vamos calcular a distância horizontal que a bola percorre nesse tempo.
Usamos a equação do movimento horizontal, que é uniforme (sem aceleração):
x(0.25) = 41.57 cdot 0.25 approx 10.39 , ft
Então, a bola percorre aproximadamente 10.39 pés horizontalmente em 0.25 segundos.

Passo 6

O segundo jogador está inicialmente a 100 pés de distância do primeiro jogador. Queremos saber qual é a distância que ele precisa percorrer para alcançar o ponto onde a bola estará quando atingir 8 pés de altura.
Assumindo que a direção do segundo jogador é direta para o ponto de impacto da bola, a distância que ele precisa correr é:
Distância = x(t) + 100 = 10.39 + 100 = 110.39 , ft â

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade mínima que o segundo jogador precisa ter para percorrer 110.39 pés em 0.25 segundos.
Usamos a fórmula da velocidade:
v = DistânciaTempo = 110.390.25 = 441.56 , ft/s â

Resposta

O segundo jogador precisa correr uma distância de aproximadamente 110.39 pés com uma velocidade mínima de 441.56 pés por segundo para pegar a bola quando ela estiver a 8 pés de altura.

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