Um jogador de baseball dá uma tacada imprimindo à bola uma velocidade de 48 pés
que forma, com a horizontal, um ângulo de
para cima. Um segundo jogador, distanciado 100 pés do primeiro e no mesmo plano da trajetória da bola, começa a correr no instante da tacada. Sabendo-se que o segundo jogador é capaz de alcançar uma bola até a altura de 8 pés acima do solo, e que, no instante da tacada, a bola estava a 3 pés de altura, calcular a velocidade mínima que deve ter o jogador para pegar a bola. Qual a distância que o segundo jogador tem de correr?
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão pede. Temos um jogador de baseball que rebate uma bola com velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. Um segundo jogador está a 100 pés de distância e começa a correr no momento da tacada. Queremos descobrir qual é a velocidade mínima que esse segundo jogador precisa ter para pegar a bola quando ela estiver a 8 pés de altura, considerando que a bola já está a 3 pés do chão no momento da tacada.
Conteúdo da matéria: Movimento de projéteis na física, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e usar equações de movimento uniforme e uniformemente variado.
O que vamos precisar:
- Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
- Usar as equações de movimento para determinar o tempo que a bola leva para ir de 3 pés a 8 pés de altura.
- Calcular a distância horizontal percorrida pela bola nesse tempo.
- Determinar a distância que o segundo jogador precisa correr e a velocidade mínima necessária para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
).
A velocidade inicial
e o ângulo
.
Usamos as fórmulas:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento vertical da bola. Queremos saber em quanto tempo a bola passa de 3 pés para 8 pés de altura.
Usamos a equação da posição vertical:
Onde:
-
é a altura da bola no tempo , -
é a altura inicial, -
é a aceleração devido à gravidade.
Queremos que
, então:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
para encontrar
.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
.
Calculando o discriminante:
Então:
Temos duas soluções:
Como estamos interessados no momento em que a bola está subindo até 8 pés, consideramos
.
Passo 5
Agora que temos o tempo
, vamos calcular a distância horizontal que a bola percorre nesse tempo.
Usamos a equação do movimento horizontal, que é uniforme (sem aceleração):
Então, a bola percorre aproximadamente 10.39 pés horizontalmente em 0.25 segundos.
Passo 6
O segundo jogador está inicialmente a 100 pés de distância do primeiro jogador. Queremos saber qual é a distância que ele precisa percorrer para alcançar o ponto onde a bola estará quando atingir 8 pés de altura.
Assumindo que a direção do segundo jogador é direta para o ponto de impacto da bola, a distância que ele precisa correr é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade mínima que o segundo jogador precisa ter para percorrer 110.39 pés em 0.25 segundos.
Usamos a fórmula da velocidade:
Resposta
O segundo jogador precisa correr uma distância de aproximadamente 110.39 pés com uma velocidade mínima de 441.56 pés por segundo para pegar a bola quando ela estiver a 8 pés de altura.